약수의 합과 오일러 토션트

수학노트
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개요

 

 

기호

  • 자연수의 약수의 합
  • 자연수 \(n\)에 대하여, 1부터 n까지의 양의 정수 중에 \(n\)의 약수인 수의 합을 \(\sigma(n)\) 으로 나타냄\[\sigma(n)=\sum_{d|n}d\]
  • 오일러의 totient 함수
  • 1부터 n까지의 양의 정수 중에 n과 서로소인 수의 개수를 \(\varphi(n)\)  으로 둠

 

 

문제

  • \(\sigma(n)+\varphi(n)=2n\)  <=> n이 소수이다

 

 

풀이

  • \(n=p_1 ^{\alpha _1} p_2 ^{\alpha _2} ... p_k ^{\alpha _k}\) 인 경우
  • \(\varphi (n) = p_1 ^{\alpha _1 - 1} p_2 ^{\alpha _2 - 1} ... p_k ^{\alpha _k - 1} (p_1 - 1)(p_2 - 1) .. (p_k - 1) \)
  • \(\sigma(n) = \frac{p_{1}^{\alpha_1+1}-1}{p_1-1}\cdots \frac{p_{k}^{\alpha_2+1}-1}{p_k-1}\)

 

n 을 나누는 소수가 하나인 경우, 즉 k=1 인 경우

\(n=p_1 ^{\alpha _1}\)

\(\varphi (n) = p_1 ^{\alpha _1 - 1}(p_1 - 1)\)

\(\sigma(n) = \frac{p_{1}^{\alpha_1+1}-1}{p_1-1}\)

\(\frac{\sigma(n)+\varphi(n)}{n}=\frac{2(1-p_1)}{1-p_1}+\frac{-p_1^{-1}+p_1^{-\alpha_1}}{1-p_1}}\) 이므로, \(\frac{\sigma(n)+\varphi(n)}{n}=2\) 이려면 \(\alpha_1=1\) 일 수밖에 없다.

 

이제 n을 나누는 소수가 둘 이상인 경우, 즉 \(k\geq 2\) 라 가정하자.

 

가령 k=3 인 경우, \(\alpha_i\geq 1\) 이므로,

\(\frac{\sigma(n)+\varphi(n)}{n}=\frac{p_1^{-\alpha _1}\left(p_1^{\alpha _1+1}-1\right) p_2^{-\alpha _2} \left(p_2^{\alpha _2+1}-1\right) p_3^{-\alpha _3} \left(p_3^{\alpha _3+1}-1\right) }{\left(p_1-1\right) \left(p_2-1\right) \left(p_3-1\right)}+\frac{\left(p_1-1\right) \left(p_2-1\right) \left(p_3-1\right)}{ p_1p_2 p_3}\)

\(\geq \frac{p_1 p_2 p_3}{\left(p_1-1\right) \left(p_2-1\right)\left(p_3-1\right)}\left(1-\frac{1}{p_1{}^2}\right)\left(1-\frac{1}{p_2{}^2}\right)\left(1-\frac{1}{p_3{}^2}\right)+\frac{\left(p_1-1\right) \left(p_2-1\right)\left(p_3-1\right)}{p_1 p_2 p_3}\)

 

여기서 다음과 같은 부등식을 이용할 수 있다.

\(x_n,y_n>0\) 이고, \(k\geq 2\) 인 자연수일 때,

\(\prod _{n=1}^k \left(x_n-y_n\right)+\prod _{n=1}^k \left(x_n+y_n\right)>2\prod _{n=1}^k x_n\)

 

 

 

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관련논문

  • Bárány, Imre, Greg Martin, Eric Naslund, and Sinai Robins. “Primitive Points in Lattice Polygons.” arXiv:1509.02201 [math], September 7, 2015. http://arxiv.org/abs/1509.02201.