오일러 토션트 함수

수학노트
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정의[편집]

  • 1부터 n까지의 양의 정수 중에 n과 서로소인 수의 개수를 나타내는 함수
  • \(\varphi(n)\) 으로 나타냄

 

성질[편집]

  • 서로 소인 자연수 \(m,n\) 에 대하여, \(\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)\)
  • 소수 \(p\) 에 대하여,  \(\varphi(p^{k}) = (p - 1)p^{k - 1}\)
  • \(\varphi (1) = 1\)
  • 일반적으로, 2 이상의 자연수  n의 소인수분해가 \(n=p_1 ^{\alpha _1} p_2 ^{\alpha _2} ... p_k ^{\alpha _k}\) 으로 주어지면, \(\varphi (n) = p_1 ^{\alpha _1 - 1} p_2 ^{\alpha _2 - 1} ... p_k ^{\alpha _k - 1} (p_1 - 1)(p_2 - 1) .. (p_k - 1) \)   이 된다.

 

 

합동식에의 응용[편집]

  • 1부터 n까지의 양의 정수 중에 n과 서로소인 수로 구성된 집합은 곱셈 (mod n) 에 대한 군의 구조를 이룸
  • 이 군을 \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\) 로 표현하며, 원소의 개수는 \(\varphi(n)\) 이 됨.

 

 

원분체[편집]

  • 원분체 (cyclotomic field)  \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)
  • \([\mathbb Q(\zeta_n): \mathbb Q)] = \varphi(n)\)
  • 갈루아군은 \(\text{Gal}(\mathbb Q(\zeta_n) /\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)를 만족하며, 그 크기는 \(\varphi(n)\) 이 됨.

 

 

100까지의 자연수에 대한 totient 함수값 목록[편집]

\(n\)  \(\varphi(n)\)

1    1 2    1 3    2 4    2 5    4 6    2 7    6 8    4 9    6 10    4 11    10 12    4 13    12 14    6 15    8 16    8 17    16 18    6 19    18 20    8 21    12 22    10 23    22 24    8 25    20 26    12 27    18 28    12 29    28 30    8 31    30 32    16 33    20 34    16 35    24 36    12 37    36 38    18 39    24 40    16 41    40 42    12 43    42 44    20 45    24 46    22 47    46 48    16 49    42 50    20 51    32 52    24 53    52 54    18 55    40 56    24 57    36 58    28 59    58 60    16 61    60 62    30 63    36 64    32 65    48 66    20 67    66 68    32 69    44 70    24 71    70 72    24 73    72 74    36 75    40 76    36 77    60 78    24 79    78 80    32 81    54 82    40 83    82 84    24 85    64 86    42 87    56 88    40 89    88 90    24 91    72 92    44 93    60 94    46 95    72 96    32 97    96 98    42 99    60 100    40

 


 

역사[편집]

 

 

 

관련된 항목들[편집]

 

 

수학용어번역[편집]

 

 

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