오일러 토션트 함수

수학노트
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정의

  • 1부터 n까지의 양의 정수 중에 n과 서로소인 수의 개수를 나타내는 함수
  • \(\varphi(n)\) 으로 나타냄

 

성질

  • 서로 소인 자연수 \(m,n\) 에 대하여, \(\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)\)
  • 소수 \(p\) 에 대하여,  \(\varphi(p^{k}) = (p - 1)p^{k - 1}\)
  • \(\varphi (1) = 1\)
  • 일반적으로, 2 이상의 자연수  n의 소인수분해가 \(n=p_1 ^{\alpha _1} p_2 ^{\alpha _2} ... p_k ^{\alpha _k}\) 으로 주어지면, \(\varphi (n) = p_1 ^{\alpha _1 - 1} p_2 ^{\alpha _2 - 1} ... p_k ^{\alpha _k - 1} (p_1 - 1)(p_2 - 1) .. (p_k - 1) \)
      이 된다.

 

 

합동식에의 응용

  • 1부터 n까지의 양의 정수 중에 n과 서로소인 수로 구성된 집합은 곱셈 (mod n) 에 대한 군의 구조를 이룸
  • 이 군을 \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\) 로 표현하며, 원소의 개수는 \(\varphi(n)\) 이 됨.

 

 

원분체

  • 원분체 (cyclotomic field)  \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)
  • \([\mathbb Q(\zeta_n): \mathbb Q)] = \varphi(n)\)
  • 갈루아군은 \(\text{Gal}(\mathbb Q(\zeta_n) /\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)를 만족하며, 그 크기는 \(\varphi(n)\) 이 됨.

 

 

100까지의 자연수에 대한 totient 함수값 목록

\(n\)  \(\varphi(n)\)

1    1
2    1
3    2
4    2
5    4
6    2
7    6
8    4
9    6
10    4
11    10
12    4
13    12
14    6
15    8
16    8
17    16
18    6
19    18
20    8
21    12
22    10
23    22
24    8
25    20
26    12
27    18
28    12
29    28
30    8
31    30
32    16
33    20
34    16
35    24
36    12
37    36
38    18
39    24
40    16
41    40
42    12
43    42
44    20
45    24
46    22
47    46
48    16
49    42
50    20
51    32
52    24
53    52
54    18
55    40
56    24
57    36
58    28
59    58
60    16
61    60
62    30
63    36
64    32
65    48
66    20
67    66
68    32
69    44
70    24
71    70
72    24
73    72
74    36
75    40
76    36
77    60
78    24
79    78
80    32
81    54
82    40
83    82
84    24
85    64
86    42
87    56
88    40
89    88
90    24
91    72
92    44
93    60
94    46
95    72
96    32
97    96
98    42
99    60
100    40

 


 

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