양자역학의 수학적 형식화

수학노트
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개요

  • 많은 부분은 영문 Wikipedia 의 Mathematical Formulation of Quantum Mechanics 의 번역임
  • 양자역학의 수학적인 틀은 크게 세 가지
    • 양자 상태의 힐버트 공간
    • 관측가능량 - 허미션 연산자
    • 유니타리 evolution 연산자

 

 

양자역학의 공리

  • 폰 노이만의 연구에 따르면 양자역학의 수학적 뼈대는 다음과 같은 공리들로 이루어져 있음.
  • 어떤 물리계(physical system)가 주어졌고, 그 계는 분리가능 복소 힐버트 내적공간으로 이해할 수 있다. 이를 \(\mathcal{H}\) 라고 표기하기로 한다. (분리가능하다는 조건을 넣은 이유는 셀 수 있는 만큼의 횟수(countably many)의 관측만 수행하면 상태를 유일하게 결정하기 위해 충분하기 때문이다.)
  • 계의 상태는 \(\mathcal{H}\) 의 일차원 부분공간(ray)으로 나타낸다. 즉, \(\mathcal{H}\) 의 일차원 부분공간 각각은 물리계가 취할 수 있는 각 상태들과 일대일 대응관계가 있다. (혹은 규격화했을 때 같아지는 벡터들끼리 모아서 equivalence class 를 만들고 이를 상태의 정의로 사용해도 좋다.)
  • 복합계의 상태는 복합계를 이루는 개별 힐버트공간의 텐서곱으로 이해할 수 있다.
  • 양자상태에 작용하는 대칭성은 모두 유니타리 연산자이거나 반유니타리 연산자로 표현된다.(위그너의 정리)
  • 물리적 관측가능량은 \(\mathcal{H}\) 의 densely-defined self-adjoint operator 들로 표현된다.
  • \(| \psi \rangle \in \mathcal{H}\) 로 표현되는 양자상태에 관해 이 상태가 연산자 \(A\)  에 대응하는 물리량을 얼마나 가질 것인가에 관해 그 기대값은 \(\langle \psi | A | \psi \rangle\) 로 주어진다.
  • Spectral 이론에 따르면 상태 \(| \psi \rangle\) 에 대한 관측가능량 A 에 대해 확률측도를 부여할 수 있다. 또한 임의의 상태에 대해서 관측가능량 A 가 취할 수 있는 값은 반드시 A 의 스펙트럼에 속해야 한다는 것을 보일 수 있다. A 가 오직 불연속 스펙트럼을 가질 뿐인 특별한 상황에서 관측되는 A 값은 A 의 고유치이다.
  • 보다 일반적으로, 어떤 상태는 소위 density operator 라고 하는 것으로 표현될 수 있다. density operator 는 trace class 로서 규격화 가능한 음이 아닌 self-adjoint operator 를 의미한다. 이를 rho 라고 쓰자. 그러면 관측가능량 A 가 상태 rho 에 대해 가지는 기대값은 \(\operatorname{tr}(A\rho)\)이다. 만약 \rho \psi 가 \psi 에 의해 스팬되는 1차원 부분공간으로의 orthogonal projector 라면 \(\operatorname{tr}(A \rho \psi) = \langle \psi |A|\psi\rangle\)이다. 밀도연산자는 1차원 orthogonal projectoor 들의 convex hull 에 속하는 연산자들이다. 역으로, 1차원 orthogonal projector 들은 밀도연산자들의 집합의 극점들이다. 물리학자들은 이러한 1차원 직교투영 연산자들을 순수상태라고 부르고 나머지 밀도연산자들을 혼합상태라고 부르기도 한다.

 

 

하이젠베르크의 불확정성 원리

  • 이 명제들을 공리로 인정하고나면 이것을 바탕으로 하이젠베르크의 불확정성의 원리를 이끌어낼 수 있다.

 

 

동역학

  • quantum system 의 time evolution 은 관측가능량의 하나인 해밀토니안 연산자에 의해 결정된다
  • 슈뢰딩거 picture
    • 슈뢰딩거 방정식\[ i\hbar\frac{d}{d t}\left|\psi(t)\right\rangle=H\left|\psi(t)\right\rangle\]
    • time evolution 연산자 \(U(t)=e^{-i Ht/\hbar}\) 를 사용하면,\[\left|\psi(t)\right\rangle=U(t)|\psi(0)\] 로 표현된다
    • 고전역학의 리우빌 picture 에 대응됨
  • 하이젠베르크 picture
    • 하이젠베르크 운동방정식\[i\hbar{d\over dt}A(t) = [A(t),H]\]
    • 고전역학의 해밀턴 picture 에 대응됨

 

 

역사

 

 

 

메모

  • Stefano Gogioso, Fabrizio Genovese, Infinite-dimensional Categorical Quantum Mechanics, arXiv:1605.04305 [quant-ph], May 12 2016, http://arxiv.org/abs/1605.04305
  • The important mathematical requirement that observables be represented by Hermitian matrices (operators) in the formalism of matrix mechanics is due to the physical requirement that measured values of observable quantities must be real. http://www.worldscibooks.com/etextbook/7271/7271_chap02.pdf

 

 

관련된 항목들

 

 

사전 형태의 자료

 

 

리뷰, 에세이, 강의노트

  • Moretti, Valter. “Mathematical Foundations of Quantum Mechanics: An Advanced Short Course.” arXiv:1508.06951 [hep-Th, Physics:math-Ph], August 27, 2015. http://arxiv.org/abs/1508.06951.
  • Heydari, Hoshang. “Geometric Formulation of Quantum Mechanics.” arXiv:1503.00238 [math-Ph, Physics:quant-Ph], March 1, 2015. http://arxiv.org/abs/1503.00238.

관련도서

  • 폰 노이만, 1932 , Mathematische Grundlageen der Quantenmechanik (Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, 1955)