여론조사와 수학

수학노트
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개요

  • 여론조사의 배경이 되는 이론은 표본평균과 표본분산
  • "95% 신뢰수준에 오차범위는 ±3.1%포인트"와 같은 용어가 여론조사 기사에 등장한다
  • 다음과 같이 다시 쓸 수 있다

실제 지지율은 여론조사의 결과와 ±3.1%포인트의 오차범위 안에 95% 신뢰수준으로 들어 있다




여론조사 기사에 등장하는 용어

  • 1-a: 신뢰수준 confidence level (95%, 99% 등등)
  • n: 표본의 크기 (1000명조사, 4000명 조사 등등)
  • D: 오차범위 margin of error 표본의 크기와 신뢰수준에 의해 결정 (±1.6%p, ±3.1%p)
  • Z: 신뢰구간 (confidence interval) (1.96, 2.57 등등)
    • 신뢰수준에 의해 결정
    • \(Z_{a/2}\) (예 \(Z_{0.025}=1.96\), \(Z_{0.005}=2.57\))



  • 신뢰수준이 95% 인 여론조사의 경우
  • $a=0.05$, $Z_{(1-a)/2}=1.96$
  • 오차범위 \(D=Z_{(1-a)/2}\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\)

$$ \begin{align} 0.95 & = 1-0.05 \\ {} & =P \left(-Z_{0.025}\le \frac {\bar X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}} \le Z_{0.025} \right) \\ {} & =P \left(-Z_{0.025}\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \bar X-\mu \le Z_{0.025}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \\ {} & =P \left(-1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \le \bar X-\mu \le 1.96\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right) \\ {} & =P \left(-D \le \bar X-\mu \le D\right) \end{align} $$


신뢰수준 $1-a$ 95% 95%
신뢰구간 $Z_{(1-a)/2}$ 1.96 1.96
표본의 크기 $n$ 1000명 조사 3950명 조사
오차범위 $D$ ±3.1%p ±1.6%p



  • 여론조사
    • 무엇을 알고 싶은가
    • 얼마나 정확히 알고 싶은가 - 신뢰수준의 결정
    • 오차범위를 얼마로 할 것인가 - 오차범위의 결정
    • 표본의 크기를 어떻게 할 것인가 - 표본크기의 결정


신뢰구간 confidence interval

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