표본평균과 표본분산

수학노트
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개요

  • 여론조사 에 응용되는 통계의 기초 개념
  • 크기가 n인 표본평균의 분산은 모분산의 1/n 배가 된다


유한모집단, 비복원추출의 경우

  • 크기가 N인 유한모집단 $\{x_1,\cdots, x_N\}$의 모평균이 \(\mu\), 모분산이 \(\sigma^2\) 라 하자. 이는 다음과 같이 주어진다

$$ \mu=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}x_{i} $$

$$ \sigma^2=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\mu)^2 $$

  • 여론조사는, 모집단의 \(\mu\)와 \(\sigma^2\)를 알지 못하는 상태에서, 하나의 표본을 통하여 이를 추정하는 문제에 해당한다. 
  • 크기가 n인 표본 $\{y_1,\cdots,y_n\}\subseteq \{x_1,\cdots, x_N\}$ 을 모집단에서 추출했다고 하면, 이로부터 표본평균 \(\bar{y}\)과 표본분산 \(s^2\)을 다음과 같이 정의한다 :

\[\bar{y}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}y_{i}\] \[s^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(y_{i}-\bar{y})^2\]

  • \(\bar{y}\)와 \(s^2\) 는 모두 새로운 확률변수로 이해할 수 있으며, 이 확률변수의 평균과 분산을 모평균 \(\mu\), 모분산 \(\sigma^2\)를 통하여 표현할 수 있다.
  • 확률변수 \(\bar{y}\)의 경우

\[E(\bar{y})=\mu,\] \[V(\bar{y})=\frac{\sigma^2}{n}(\frac{N-n}{N-1})\]

  • 확률변수 \(s^2\)의 경우

\[E(s^2)=\frac{N}{N-1}\sigma^2\]


모평균과 모분산의 추정

  • 평균이 \(\mu\)인 모집단에서 n 개의 표본 \(y_1,\cdots,y_n\) 을 추출할 때 표본평균 \(\bar{y}\)는 \(\mu\)의 불편추정량이다. 즉\[E(\bar{y})=\mu\] 이 성립한다.
  • 평균이 \(\mu\), 분산  \(\sigma^2\) 인 크기가 N인 모집단에서 n개의 표본  \(y_1,\cdots,y_n\)을 추출할 때 표본분산  \(s^2\)은  \(\frac{N}{N-1}\sigma^2\)의 불편추정량이다. 즉\[E(s^2)=\frac{N}{N-1}\sigma^2\] 이 성립한다.
  • 모평균 \(\mu\)은 표본평균 \(\bar{y}\) 로 추정할 수 있다
  • 표본평균의 분산 \(V(\bar{y})\)은 표본분산 \(s^2\)를 이용하여  \(\frac{s^2}{n}(\frac{N-n}{N})\) 로 추정할 수 있다

 

  • 모집단이 $\{1,2,3,4,5,6\}$ 주어진 경우를 생각하자.
  • 모평균 \(\mu\), 모분산 \(\sigma^2\)은 다음과 같이 주어진다

$$\mu=\frac{1+2+3+4+5+6}{6}=\frac{7}{2}$$ $$\sigma^2=\sum_{i=1}^{6}(x_i-\mu)^2 = \frac{35}{12}$$


표본의 크기가 2인 경우

\begin{array}{c|c|c|c} i & \text{sample }i & \bar{y}_i & (\bar{y}_i-\mu)^2 & s_i^2 \\ 1 & \{1,2\} & \frac{3}{2} & 4 & \frac{1}{2} \\ 2 & \{1,3\} & 2 & \frac{9}{4} & 2 \\ 3 & \{1,4\} & \frac{5}{2} & 1 & \frac{9}{2} \\ 4 & \{1,5\} & 3 & \frac{1}{4} & 8 \\ 5 & \{1,6\} & \frac{7}{2} & 0 & \frac{25}{2} \\ 6 & \{2,3\} & \frac{5}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ 7 & \{2,4\} & 3 & \frac{1}{4} & 2 \\ 8 & \{2,5\} & \frac{7}{2} & 0 & \frac{9}{2} \\ 9 & \{2,6\} & 4 & \frac{1}{4} & 8 \\ 10 & \{3,4\} & \frac{7}{2} & 0 & \frac{1}{2} \\ 11 & \{3,5\} & 4 & \frac{1}{4} & 2 \\ 12 & \{3,6\} & \frac{9}{2} & 1 & \frac{9}{2} \\ 13 & \{4,5\} & \frac{9}{2} & 1 & \frac{1}{2} \\ 14 & \{4,6\} & 5 & \frac{9}{4} & 2 \\ 15 & \{5,6\} & \frac{11}{2} & 4 & \frac{1}{2} \\ \end{array}

표본평균 $\bar{y}$은 $\left\{\frac{3}{2},2,\frac{5}{2},3,\frac{7}{2},\frac{5}{2},3,\frac{7}{2},4,\frac{7}{2},4,\frac{9}{2},\frac{9}{2},5,\frac{11}{2}\right\}$ 을 모집단으로 하며, 이들의 평균 $E(\bar{y})$과 분산 $V(\bar{y})$ 는 다음과 같이 계산된다 $$ E(\bar{y})=\frac{\sum_{i=1}^{15} \bar{y}_i}{15}=\frac{\frac{3}{2}+2+\frac{5}{2}+3+\frac{7}{2}+\frac{5}{2}+3+\frac{7}{2}+4+\frac{7}{2}+4+\frac{9}{2}+\frac{9}{2}+5+\frac{11}{2}}{15}=\frac{7}{2}=\mu $$

$$ V(\bar{y})=\frac{\sum_{i=1}^{15} (\bar{y}_i-\mu)^2}{15}=\frac{4+\frac{9}{4}+1+\frac{1}{4}+0+1+\frac{1}{4}+0+\frac{1}{4}+0+\frac{1}{4}+1+1+\frac{9}{4}+4}{15}=\frac{7}{6}=\frac{(N-n)}{(N-1)}\frac{\sigma^2}{n} $$

표본분산 $s^2$은 $\left\{\frac{1}{2},2,\frac{9}{2},8,\frac{25}{2},\frac{1}{2},2,\frac{9}{2},8,\frac{1}{2},2,\frac{9}{2},\frac{1}{2},2,\frac{1}{2}\right\}$ 을 모집단으로 하며, 이들의 평균 $E(s^2)$은 다음과 같이 계산된다 $$ E(s^2)=\frac{\sum_{i=1}^{15} s_i^2}{15}=\frac{\frac{1}{2}+2+\frac{9}{2}+8+\frac{25}{2}+\frac{1}{2}+2+\frac{9}{2}+8+\frac{1}{2}+2+\frac{9}{2}+\frac{1}{2}+2+\frac{1}{2}}{15}=\frac{7}{2}=\frac{N}{N-1} \sigma ^2 $$


표본의 크기가 3인 경우

\begin{array}{c|c|c|c} i & \text{sample }i & \bar{y}_i & (\bar{y}_i-\mu)^2 & s_i^2 \\ 1 & \{1,2,3\} & 2 & \frac{9}{4} & 1 \\ 2 & \{1,2,4\} & \frac{7}{3} & \frac{49}{36} & \frac{7}{3} \\ 3 & \{1,2,5\} & \frac{8}{3} & \frac{25}{36} & \frac{13}{3} \\ 4 & \{1,2,6\} & 3 & \frac{1}{4} & 7 \\ 5 & \{1,3,4\} & \frac{8}{3} & \frac{25}{36} & \frac{7}{3} \\ 6 & \{1,3,5\} & 3 & \frac{1}{4} & 4 \\ 7 & \{1,3,6\} & \frac{10}{3} & \frac{1}{36} & \frac{19}{3} \\ 8 & \{1,4,5\} & \frac{10}{3} & \frac{1}{36} & \frac{13}{3} \\ 9 & \{1,4,6\} & \frac{11}{3} & \frac{1}{36} & \frac{19}{3} \\ 10 & \{1,5,6\} & 4 & \frac{1}{4} & 7 \\ 11 & \{2,3,4\} & 3 & \frac{1}{4} & 1 \\ 12 & \{2,3,5\} & \frac{10}{3} & \frac{1}{36} & \frac{7}{3} \\ 13 & \{2,3,6\} & \frac{11}{3} & \frac{1}{36} & \frac{13}{3} \\ 14 & \{2,4,5\} & \frac{11}{3} & \frac{1}{36} & \frac{7}{3} \\ 15 & \{2,4,6\} & 4 & \frac{1}{4} & 4 \\ 16 & \{2,5,6\} & \frac{13}{3} & \frac{25}{36} & \frac{13}{3} \\ 17 & \{3,4,5\} & 4 & \frac{1}{4} & 1 \\ 18 & \{3,4,6\} & \frac{13}{3} & \frac{25}{36} & \frac{7}{3} \\ 19 & \{3,5,6\} & \frac{14}{3} & \frac{49}{36} & \frac{7}{3} \\ 20 & \{4,5,6\} & 5 & \frac{9}{4} & 1 \\ \end{array}

표본평균 $\bar{y}$의 평균 $E(\bar{y})$과 분산 $V(\bar{y})$ 는 다음과 같다 $$ E(\bar{y})=\frac{7}{2}=\mu $$

$$ V(\bar{y})=\frac{7}{12}=\frac{(6-3)}{(6-1)}\frac{\sigma^2}{3} $$

표본분산 $s^2$의 평균 $E(s^2)$은 다음과 같다 $$ E(s^2)=\frac{7}{2}=\frac{6}{6-1} \sigma ^2 $$


 

 

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