오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)

수학노트
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개요

  • 오일러의 오각수정리
<math>\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kx^{k(3k-1)/2}</math>:<math>(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots</math>
  • 세타함수의 무한곱표현의 일종으로 이해할 수 있음(자코비 세타함수의 삼중곱 공식 참조)  :<math>\sum _{m=-\infty }^{\infty } (-1)^mq^{\frac{3}{2}m^2\pm \frac{1}{2}m} = \prod _{n=1}^{\infty } \left(1-q^{3 n}\right)\left(1-q^{3n-2}\right)\left(1-q^{3n-1}\right)</math>
  • 자연수의 분할수(integer partitions)<math>p(n)</math>의 생성함수의 역이다
<math>\sum_{n=0}^\infty p(n)x^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-x^n} = \prod_{n=1}^\infty (1-x^n)^{-1} </math>



오각수

4145675-pentagonal-numbers.gif

  • 수열 1, 5, 12, 22, 35,...
  • 일반항은 <math>n(3n-1)/2</math>



일반화된 오각수

  • <math>(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots</math>에 등장하는 수
  • <math>k=\frac{j(3j\pm 1)}{2}</math> 꼴로 주어짐 (<math>j=1,2,3\cdots</math>)



증명

  • 자코비 세타함수의 삼중곱표현의 특수한 경우로 얻어진다
  • 삼중곱에 대해서는 자코비 세타함수 항목 참조

(증명)

<math>\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + zq^{2m-1}\right) \left( 1 + z^{-1}q^{2m-1}\right)=\sum_{n=-\infty}^\infty z^{n}q^{n^2}</math>

<math>q=x^{3/2}</math>, <math>z=-x^{1/2}</math>로 두면, 다음을 얻는다

<math>\operatorname{(LHS)}=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{3m}\right) \left( 1 - x^{1/2}x^{3m-3/2}\right) \left(1 - x^{-1/2}x^{3m-3/2}\right)=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{3m}\right) \left(1- x^{3m-1}\right) \left(1 - x^{3m-2}\right) = \prod_{n=1}^\infty (1-x^n)

</math>

<math>\operatorname{(RHS)}=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^{n}x^{n(3n-1)/2}</math>■




데데킨트 에타함수

  • 위의 급수에 <math>q^{1/24}</math>를 곱하면, 데데킨트 에타함수의 세타함수 표현을 얻는다  :<math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})=\sum_{n=-\infty}^\infty(-1)^n q^{\frac{(6n+1)^2}{24}}</math> 여기서 <math>q=e^{2\pi i\tau}</math>.
  • 데데킨트 에타함수는 모듈라 성질을 가진다




역사



관련된 항목들




사전 형태의 자료


매스매티카 파일 및 계산 리소스


리뷰논문, 에세이, 강의노트

메타데이터

위키데이터

Spacy 패턴 목록

  • [{'LOWER': 'pentagonal'}, {'LOWER': 'number'}, {'LEMMA': 'theorem'}]
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