"오일러의 오각수정리(pentagonal number theorem)"의 두 판 사이의 차이

2021년 2월 17일 (수) 05:54 기준 최신판

개요

오일러의 오각수정리

\[\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kx^{k(3k-1)/2}\]\[(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots\]

세타함수의 무한곱표현의 일종으로 이해할 수 있음(자코비 세타함수의 삼중곱 공식 참조) \[\sum _{m=-\infty }^{\infty } (-1)^mq^{\frac{3}{2}m^2\pm \frac{1}{2}m} = \prod _{n=1}^{\infty } \left(1-q^{3 n}\right)\left(1-q^{3n-2}\right)\left(1-q^{3n-1}\right)\]
자연수의 분할수(integer partitions)\(p(n)\)의 생성함수의 역이다

\[\sum_{n=0}^\infty p(n)x^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-x^n} = \prod_{n=1}^\infty (1-x^n)^{-1} \]

오각수

수열 1, 5, 12, 22, 35,...
일반항은 \(n(3n-1)/2\)

일반화된 오각수

\((1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots\)에 등장하는 수
\(k=\frac{j(3j\pm 1)}{2}\) 꼴로 주어짐 (\(j=1,2,3\cdots\))

증명

자코비 세타함수의 삼중곱표현의 특수한 경우로 얻어진다
삼중곱에 대해서는 자코비 세타함수 항목 참조

(증명)

\(\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + zq^{2m-1}\right) \left( 1 + z^{-1}q^{2m-1}\right)=\sum_{n=-\infty}^\infty z^{n}q^{n^2}\)

\(q=x^{3/2}\), \(z=-x^{1/2}\)로 두면, 다음을 얻는다 \[\operatorname{(LHS)}=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{3m}\right) \left( 1 - x^{1/2}x^{3m-3/2}\right) \left(1 - x^{-1/2}x^{3m-3/2}\right)=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{3m}\right) \left(1- x^{3m-1}\right) \left(1 - x^{3m-2}\right) = \prod_{n=1}^\infty (1-x^n) \]

\(\operatorname{(RHS)}=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^{n}x^{n(3n-1)/2}\)■

데데킨트 에타함수

위의 급수에 \(q^{1/24}\)를 곱하면, 데데킨트 에타함수의 세타함수 표현을 얻는다 \[\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})=\sum_{n=-\infty}^\infty(-1)^n q^{\frac{(6n+1)^2}{24}}\] 여기서 \(q=e^{2\pi i\tau}\).
데데킨트 에타함수는 모듈라 성질을 가진다

역사

수학사 연표

사전 형태의 자료

매스매티카 파일 및 계산 리소스

리뷰논문, 에세이, 강의노트

Jordan Bell Euler and the pentagonal number theorem, arXiv.org, 2005
George E. Andrews Euler's Pentagonal Number Theorem, Mathematics Magazine, Vol. 56, No. 5 (Nov., 1983), pp. 279-284

메타데이터

위키데이터

ID : Q282649

Spacy 패턴 목록

[{'LOWER': 'pentagonal'}, {'LOWER': 'number'}, {'LEMMA': 'theorem'}]

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 *  오일러의 오각수정리
-:<math>\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kx^{k(3k-1)/2}</math>:<math>(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots</math><br>
+:<math>\prod_{n=1}^\infty (1-x^n)=\sum_{k=-\infty}^\infty(-1)^kx^{k(3k-1)/2}</math>:<math>(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots</math>
-*  세타함수의 무한곱표현의 일종으로 이해할 수 있음([[자코비 세타함수]]의 삼중곱 공식 참조)<br>  :<math>\sum _{m=-\infty }^{\infty } (-1)^mq^{\frac{3}{2}m^2\pm \frac{1}{2}m} = \prod _{n=1}^{\infty } \left(1-q^{3 n}\right)\left(1-q^{3n-2}\right)\left(1-q^{3n-1}\right)</math><br>
+*  세타함수의 무한곱표현의 일종으로 이해할 수 있음([[자코비 세타함수]]의 삼중곱 공식 참조)  :<math>\sum _{m=-\infty }^{\infty } (-1)^mq^{\frac{3}{2}m^2\pm \frac{1}{2}m} = \prod _{n=1}^{\infty } \left(1-q^{3 n}\right)\left(1-q^{3n-2}\right)\left(1-q^{3n-1}\right)</math>
 * [[자연수의 분할수(integer partitions)]]<math>p(n)</math>의 생성함수의 역이다
-:<math>\sum_{n=0}^\infty p(n)x^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-x^n} = \prod_{n=1}^\infty (1-x^n)^{-1} </math><br>
+:<math>\sum_{n=0}^\infty p(n)x^n = \prod_{n=1}^\infty \frac {1}{1-x^n} = \prod_{n=1}^\infty (1-x^n)^{-1} </math>
 ==오각수==
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 ==일반화된 오각수==
-* <math>(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots</math>에 등장하는 수<br>
+* <math>(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots = 1 - x - x^2 + x^5 + x^7 - x^{12} - x^{15} + x^{22} + x^{26} + \cdots</math>에 등장하는 수
-* <math>k=\frac{j(3j\pm 1)}{2}</math> 꼴로 주어짐 (<math>j=1,2,3\cdots</math>)<br>
+* <math>k=\frac{j(3j\pm 1)}{2}</math> 꼴로 주어짐 (<math>j=1,2,3\cdots</math>)
 ==증명==
-*  자코비 세타함수의 삼중곱표현의 특수한 경우로 얻어진다<br>
+*  자코비 세타함수의 삼중곱표현의 특수한 경우로 얻어진다
-*  삼중곱에 대해서는 [[자코비 세타함수]] 항목 참조<br>
+*  삼중곱에 대해서는 [[자코비 세타함수]] 항목 참조
 (증명)
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 <math>\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + zq^{2m-1}\right) \left( 1 + z^{-1}q^{2m-1}\right)=\sum_{n=-\infty}^\infty z^{n}q^{n^2}</math>
-<math>q=x^{3/2}</math>, <math>z=-x^{1/2}</math>로 두면, 다음을 얻는다
+<math>q=x^{3/2}</math>, <math>z=-x^{1/2}</math>로 두면, 다음을 얻는다
-$$\operatorname{(LHS)}=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{3m}\right) \left( 1 - x^{1/2}x^{3m-3/2}\right) \left(1 - x^{-1/2}x^{3m-3/2}\right)=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{3m}\right) \left(1- x^{3m-1}\right) \left(1 - x^{3m-2}\right) = \prod_{n=1}^\infty (1-x^n)
+:<math>\operatorname{(LHS)}=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{3m}\right) \left( 1 - x^{1/2}x^{3m-3/2}\right) \left(1 - x^{-1/2}x^{3m-3/2}\right)=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - x^{3m}\right) \left(1- x^{3m-1}\right) \left(1 - x^{3m-2}\right) = \prod_{n=1}^\infty (1-x^n)
-$$
+</math>
 <math>\operatorname{(RHS)}=\sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^{n}x^{n(3n-1)/2}</math>■
 ==데데킨트 에타함수==
-*  위의 급수에 <math>q^{1/24}</math>를 곱하면, [[데데킨트 에타함수]]의 세타함수 표현을 얻는다<br>  :<math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})=\sum_{n=-\infty}^\infty(-1)^n q^{\frac{(6n+1)^2}{24}}</math><br> 여기서  <math>q=e^{2\pi i\tau}</math>.<br>
+*  위의 급수에 <math>q^{1/24}</math>를 곱하면, [[데데킨트 에타함수]]의 세타함수 표현을 얻는다  :<math>\eta(\tau) = q^{1/24} \prod_{n=1}^{\infty} (1-q^{n})=\sum_{n=-\infty}^\infty(-1)^n q^{\frac{(6n+1)^2}{24}}</math> 여기서  <math>q=e^{2\pi i\tau}</math>.
-*  데데킨트 에타함수는 모듈라 성질을 가진다<br>
+*  데데킨트 에타함수는 모듈라 성질을 가진다
 ==역사==
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 * [[수학사 연표]]
 ==관련된 항목들==
-* [[자연수의 분할수(integer partitions)]]<br>
+* [[자연수의 분할수(integer partitions)]]
-* [[자코비 세타함수]]<br>
+* [[자코비 세타함수]]
-* [[정오각형]]<br>
+* [[정오각형]]
-==사전 형태의 자료==
+==사전 형태의 자료==
 * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%98%A4%EA%B0%81%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/오각수]
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 * https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxZDljNjU2YzYtYjZiNi00ZmVjLWI2NGEtNDBlMmQ0OWY3ZmIy&sort=name&layout=list&num=50
 * http://www.wolframalpha.com/input/?i=pentagonal+numbers
-* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
+* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]
 ** [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/A000326 A000326], 오각수
 ** [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/?q=pentagonal http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=pentagonal]
 ==리뷰논문, 에세이, 강의노트==
-* Jordan Bell [http://arxiv.org/abs/math/0510054 Euler and the pentagonal number theorem],  arXiv.org, 2005<br>
+* Jordan Bell [http://arxiv.org/abs/math/0510054 Euler and the pentagonal number theorem],  arXiv.org, 2005
-* George E. Andrews [http://www.jstor.org/stable/2690367 Euler's Pentagonal Number Theorem], Mathematics Magazine, Vol. 56, No. 5 (Nov., 1983), pp. 279-284<br>
+* George E. Andrews [http://www.jstor.org/stable/2690367 Euler's Pentagonal Number Theorem], Mathematics Magazine, Vol. 56, No. 5 (Nov., 1983), pp. 279-284
 [[분류:q-급수]]
 [[분류:수열]]
 [[분류:분할수]]
+==메타데이터==
+===위키데이터===
+* ID :  [https://www.wikidata.org/wiki/Q282649 Q282649]
+===Spacy 패턴 목록===
+* [{'LOWER': 'pentagonal'}, {'LOWER': 'number'}, {'LEMMA': 'theorem'}]