"오일러 토션트 함수"의 두 판 사이의 차이
둘러보기로 가기
검색하러 가기
Pythagoras0 (토론 | 기여) |
|||
| (사용자 2명의 중간 판 20개는 보이지 않습니다) | |||
| 1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
| − | + | ==정의== | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
* 1부터 n까지의 양의 정수 중에 n과 서로소인 수의 개수를 나타내는 함수 | * 1부터 n까지의 양의 정수 중에 n과 서로소인 수의 개수를 나타내는 함수 | ||
* <math>\varphi(n)</math> 으로 나타냄 | * <math>\varphi(n)</math> 으로 나타냄 | ||
| − | + | ||
| − | + | ==성질== | |
* 서로 소인 자연수 <math>m,n</math> 에 대하여, <math>\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)</math> | * 서로 소인 자연수 <math>m,n</math> 에 대하여, <math>\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)</math> | ||
| − | * 소수 <math>p</math> 에 대하여, | + | * 소수 <math>p</math> 에 대하여, <math>\varphi(p^{k}) = (p - 1)p^{k - 1}</math> |
| − | * <math>\ | + | * <math>\varphi (1) = 1</math> |
| − | * 일반적으로, 2 이상의 | + | * 일반적으로, 2 이상의 자연수 n의 소인수분해가 <math>n=p_1 ^{\alpha _1} p_2 ^{\alpha _2} ... p_k ^{\alpha _k}</math> 으로 주어지면, <math>\varphi (n) = p_1 ^{\alpha _1 - 1} p_2 ^{\alpha _2 - 1} ... p_k ^{\alpha _k - 1} (p_1 - 1)(p_2 - 1) .. (p_k - 1) </math> 이 된다. |
| + | ** [[포함과 배제의 원리]] 를 사용하여 증명할 수 있다 | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==합동식에의 응용== | |
| − | + | * 1부터 n까지의 양의 정수 중에 n과 서로소인 수로 구성된 집합은 곱셈 (mod n) 에 대한 군의 구조를 이룸 | |
| + | * 이 군을 <math>(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math> 로 표현하며, 원소의 개수는 <math>\varphi(n)</math> 이 됨. | ||
| − | + | * [[합동식과 군론]] 항목 참조 | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==원분체== | |
| − | |||
| − | + | * [[원분체 (cyclotomic field)]] <math>K = \mathbb Q(\zeta_n)</math> | |
| + | * <math>[\mathbb Q(\zeta_n): \mathbb Q)] = \varphi(n)</math> | ||
| + | * 갈루아군은 <math>\text{Gal}(\mathbb Q(\zeta_n) /\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times</math>를 만족하며, 그 크기는 <math>\varphi(n)</math> 이 됨. | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==100까지의 자연수에 대한 totient 함수값 목록== | |
| − | < | + | <math>n</math> <math>\varphi(n)</math> |
| − | + | 1 1 2 1 3 2 4 2 5 4 6 2 7 6 8 4 9 6 10 4 11 10 12 4 13 12 14 6 15 8 16 8 17 16 18 6 19 18 20 8 21 12 22 10 23 22 24 8 25 20 26 12 27 18 28 12 29 28 30 8 31 30 32 16 33 20 34 16 35 24 36 12 37 36 38 18 39 24 40 16 41 40 42 12 43 42 44 20 45 24 46 22 47 46 48 16 49 42 50 20 51 32 52 24 53 52 54 18 55 40 56 24 57 36 58 28 59 58 60 16 61 60 62 30 63 36 64 32 65 48 66 20 67 66 68 32 69 44 70 24 71 70 72 24 73 72 74 36 75 40 76 36 77 60 78 24 79 78 80 32 81 54 82 40 83 82 84 24 85 64 86 42 87 56 88 40 89 88 90 24 91 72 92 44 93 60 94 46 95 72 96 32 97 96 98 42 99 60 100 40 | |
| − | + | ||
| − | |||
| − | + | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | ==역사== | |
| − | + | * [[수학사 연표]] | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| + | |||
| + | ==관련된 항목들== | ||
* [[분수와 순환소수]] | * [[분수와 순환소수]] | ||
* [[정다각형의 작도]] | * [[정다각형의 작도]] | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==수학용어번역== | |
| − | + | * http://english.stackexchange.com/questions/23694/where-does-the-word-totient-come-from | |
| − | + | * [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집] | |
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | * [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집] | ||
** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=totient | ** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=totient | ||
| − | * [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 | + | * [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판] |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ==사전형태의 자료== | |
* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%98%A4%EC%9D%BC%EB%9F%AC_%ED%94%BC_%ED%95%A8%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/오일러_피_함수] | * [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%98%A4%EC%9D%BC%EB%9F%AC_%ED%94%BC_%ED%95%A8%EC%88%98 http://ko.wikipedia.org/wiki/오일러_피_함수] | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_totient | * http://en.wikipedia.org/wiki/Euler_totient | ||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | |||
| − | + | [[분류:초등정수론]] | |
| + | [[분류:정수론]] | ||
| − | * | + | ==메타데이터== |
| + | ===위키데이터=== | ||
| + | * ID : [https://www.wikidata.org/wiki/Q190026 Q190026] | ||
| + | ===Spacy 패턴 목록=== | ||
| + | * [{'LOWER': 'euler'}, {'LOWER': "'s"}, {'LOWER': 'totient'}, {'LEMMA': 'function'}] | ||
| + | * [{'LOWER': 'phi'}, {'LEMMA': 'Function'}] | ||
2021년 2월 17일 (수) 05:54 기준 최신판
정의
- 1부터 n까지의 양의 정수 중에 n과 서로소인 수의 개수를 나타내는 함수
- \(\varphi(n)\) 으로 나타냄
성질
- 서로 소인 자연수 \(m,n\) 에 대하여, \(\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)\)
- 소수 \(p\) 에 대하여, \(\varphi(p^{k}) = (p - 1)p^{k - 1}\)
- \(\varphi (1) = 1\)
- 일반적으로, 2 이상의 자연수 n의 소인수분해가 \(n=p_1 ^{\alpha _1} p_2 ^{\alpha _2} ... p_k ^{\alpha _k}\) 으로 주어지면, \(\varphi (n) = p_1 ^{\alpha _1 - 1} p_2 ^{\alpha _2 - 1} ... p_k ^{\alpha _k - 1} (p_1 - 1)(p_2 - 1) .. (p_k - 1) \) 이 된다.
- 포함과 배제의 원리 를 사용하여 증명할 수 있다
합동식에의 응용
- 1부터 n까지의 양의 정수 중에 n과 서로소인 수로 구성된 집합은 곱셈 (mod n) 에 대한 군의 구조를 이룸
- 이 군을 \((\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\) 로 표현하며, 원소의 개수는 \(\varphi(n)\) 이 됨.
- 합동식과 군론 항목 참조
원분체
- 원분체 (cyclotomic field) \(K = \mathbb Q(\zeta_n)\)
- \([\mathbb Q(\zeta_n): \mathbb Q)] = \varphi(n)\)
- 갈루아군은 \(\text{Gal}(\mathbb Q(\zeta_n) /\mathbb Q) \simeq (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})^\times\)를 만족하며, 그 크기는 \(\varphi(n)\) 이 됨.
100까지의 자연수에 대한 totient 함수값 목록
\(n\) \(\varphi(n)\)
1 1 2 1 3 2 4 2 5 4 6 2 7 6 8 4 9 6 10 4 11 10 12 4 13 12 14 6 15 8 16 8 17 16 18 6 19 18 20 8 21 12 22 10 23 22 24 8 25 20 26 12 27 18 28 12 29 28 30 8 31 30 32 16 33 20 34 16 35 24 36 12 37 36 38 18 39 24 40 16 41 40 42 12 43 42 44 20 45 24 46 22 47 46 48 16 49 42 50 20 51 32 52 24 53 52 54 18 55 40 56 24 57 36 58 28 59 58 60 16 61 60 62 30 63 36 64 32 65 48 66 20 67 66 68 32 69 44 70 24 71 70 72 24 73 72 74 36 75 40 76 36 77 60 78 24 79 78 80 32 81 54 82 40 83 82 84 24 85 64 86 42 87 56 88 40 89 88 90 24 91 72 92 44 93 60 94 46 95 72 96 32 97 96 98 42 99 60 100 40
역사
관련된 항목들
수학용어번역
- http://english.stackexchange.com/questions/23694/where-does-the-word-totient-come-from
- 대한수학회 수학 학술 용어집
- 대한수학회 수학용어한글화 게시판
사전형태의 자료
메타데이터
위키데이터
- ID : Q190026
Spacy 패턴 목록
- [{'LOWER': 'euler'}, {'LOWER': "'s"}, {'LOWER': 'totient'}, {'LEMMA': 'function'}]
- [{'LOWER': 'phi'}, {'LEMMA': 'Function'}]