"완전제곱식 만들기"의 두 판 사이의 차이
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\frac{a}{2}x^2+bx+c=& \frac{a}{2}(x^2+\frac{2b}{a}+\frac{b^2}{a^2})-\frac{b^2}{2a}+c\\ | \frac{a}{2}x^2+bx+c=& \frac{a}{2}(x^2+\frac{2b}{a}+\frac{b^2}{a^2})-\frac{b^2}{2a}+c\\ | ||
{}=& \frac{a}{2}(x+\frac{b}{a})^2+c-\frac{b^2}{2a} | {}=& \frac{a}{2}(x+\frac{b}{a})^2+c-\frac{b^2}{2a} | ||
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==다변수의 경우== | ==다변수의 경우== | ||
| − | * | + | * <math>A</math>는 역행렬을 갖는 <math>n\times n</math> 대칭 행렬, <math>\mathbf{b}=(b_i)_{i=1,\cdots,n}</math>는 n-벡터, <math>c</math>는 상수라 하자 |
* 다음의 식을 완전제곱의 형태로 만들려고 한다 | * 다음의 식을 완전제곱의 형태로 만들려고 한다 | ||
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\frac{1}{2}\mathbf{x}^t A\mathbf{x}+\mathbf{b}^t \mathbf{x}+c = \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j+\sum_{i=1}^{n}b_i x_i+c | \frac{1}{2}\mathbf{x}^t A\mathbf{x}+\mathbf{b}^t \mathbf{x}+c = \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j+\sum_{i=1}^{n}b_i x_i+c | ||
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* 1변수에서의 경우와 유사하게 다음이 성립한다 | * 1변수에서의 경우와 유사하게 다음이 성립한다 | ||
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\frac{1}{2}\mathbf{x}^t A\mathbf{x}+\mathbf{b}^t \mathbf{x}+c =\frac{1}{2}(\mathbf{x}+A^{-1}\mathbf{b})^t A(\mathbf{x}+A^{-1}\mathbf{b})+c-\frac{1}{2}\mathbf{b}^t A^{-1}\mathbf{b} | \frac{1}{2}\mathbf{x}^t A\mathbf{x}+\mathbf{b}^t \mathbf{x}+c =\frac{1}{2}(\mathbf{x}+A^{-1}\mathbf{b})^t A(\mathbf{x}+A^{-1}\mathbf{b})+c-\frac{1}{2}\mathbf{b}^t A^{-1}\mathbf{b} | ||
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* [[N차원 가우시안 적분]]에 응용 | * [[N차원 가우시안 적분]]에 응용 | ||
2020년 11월 12일 (목) 01:43 기준 최신판
개요
- 2차 방정식의 근의 공식에서 사용되는 완전제곱식 만들기의 일반화
1변수의 경우
\[ \begin{aligned} \frac{a}{2}x^2+bx+c=& \frac{a}{2}(x^2+\frac{2b}{a}+\frac{b^2}{a^2})-\frac{b^2}{2a}+c\\ {}=& \frac{a}{2}(x+\frac{b}{a})^2+c-\frac{b^2}{2a} \end{aligned} \]
다변수의 경우
- \(A\)는 역행렬을 갖는 \(n\times n\) 대칭 행렬, \(\mathbf{b}=(b_i)_{i=1,\cdots,n}\)는 n-벡터, \(c\)는 상수라 하자
- 다음의 식을 완전제곱의 형태로 만들려고 한다
\[ \frac{1}{2}\mathbf{x}^t A\mathbf{x}+\mathbf{b}^t \mathbf{x}+c = \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j+\sum_{i=1}^{n}b_i x_i+c \]
- 1변수에서의 경우와 유사하게 다음이 성립한다
\[ \frac{1}{2}\mathbf{x}^t A\mathbf{x}+\mathbf{b}^t \mathbf{x}+c =\frac{1}{2}(\mathbf{x}+A^{-1}\mathbf{b})^t A(\mathbf{x}+A^{-1}\mathbf{b})+c-\frac{1}{2}\mathbf{b}^t A^{-1}\mathbf{b} \]
- N차원 가우시안 적분에 응용
관련된 항목들