"원분다항식의 해법"의 두 판 사이의 차이

2012년 7월 13일 (금) 10:17 판

http://books.google.com/books?id=0bH6SUHSvloC&pg=PA24%20#%20v=onepage&q&f=false 참조
다음의 원분다항식(cyclotomic polynomial) 을 생각하자.
\(x^{11}-1=(x-1) \left(x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1\right)\)
\(x^{10}+x^9+x^8+x^7+x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1=0\) 의 해 \(\alpha\)를 근호를 사용하여 표현하는 문제
\(\beta\) 는 \(\beta^{10}=1\) 를 만족시키는 primitive root of unity, 즉 \(\beta ^4-\beta ^3+\beta ^2-\beta +1=0\) 이라 두자.
다음과 같은 라그랑지 resolvents 를 사용하자
\(t_i=\alpha +\alpha ^2 \beta ^i+\alpha ^4 \beta ^{2 i}+\alpha ^8 \beta ^{3 i}+\alpha ^5 \beta ^{4 i}+\alpha ^{10} \beta ^{5 i}+\alpha ^9 \beta ^{6 i}+\alpha ^7 \beta ^{7 i}+\alpha ^3 \beta ^{8 i}+\alpha ^6 \beta ^{9 i}\)
여기서 \(i=1,2,\cdots, 10\)
\(t_{i}t_{1}^{10-i}\)는 \(\beta\) 만을 사용하여 표현할 수 있다
예를 들면
\(t_1^{10}=42470+98020 \beta -88540 \beta ^2-17590 \beta ^3-925 \beta ^4-37654 \beta ^5-760 \beta ^6+1880 \beta ^7-32770 \beta ^8+35870 \beta ^9\)
\(t_2t_1^{9}=7690-19480 \beta -5092 \beta ^2+9648 \beta ^3-6610 \beta ^4+30328 \beta ^5+9703 \beta ^6-10856 \beta ^7-13012 \beta ^8-2320 \beta ^9\)
따라서 모든 \(t_i\) 를
\(\beta ^4-\beta ^3+\beta ^2-\beta +1=0\) 을 이용하면, \(t_1+t_2+t_3+t_4+t_5+t_6+t_7+t_8+t_9+t_{10}=10\alpha\) 임을 알 수 있다.

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 *  다음과 같은 [[라그랑지 resolvent|라그랑지 resolvents]] 를 사용하자<br><math>t_i=\alpha +\alpha ^2 \beta ^i+\alpha ^4 \beta ^{2 i}+\alpha ^8 \beta ^{3 i}+\alpha ^5 \beta ^{4 i}+\alpha ^{10} \beta ^{5 i}+\alpha ^9 \beta ^{6 i}+\alpha ^7 \beta ^{7 i}+\alpha ^3 \beta ^{8 i}+\alpha ^6 \beta ^{9 i}</math><br> 여기서 <math>i=1,2,\cdots, 10</math><br>
 * <math>t_{i}t_{1}^{10-i}</math>는 <math>\beta</math> 만을 사용하여 표현할 수 있다
-* 예를 들어
+*  예를 들면<br><math>t_1^{10}=42470+98020 \beta -88540 \beta ^2-17590 \beta ^3-925 \beta ^4-37654 \beta ^5-760 \beta ^6+1880 \beta ^7-32770 \beta ^8+35870 \beta ^9</math><br><math>t_2t_1^{9}=7690-19480 \beta -5092 \beta ^2+9648 \beta ^3-6610 \beta ^4+30328 \beta ^5+9703 \beta ^6-10856 \beta ^7-13012 \beta ^8-2320 \beta ^9</math><br>
+* 따라서 모든 <math>t_i</math> 를
+* <math>\beta ^4-\beta ^3+\beta ^2-\beta +1=0</math> 을 이용하면, <math>t_1+t_2+t_3+t_4+t_5+t_6+t_7+t_8+t_9+t_{10}=10\alpha</math> 임을 알 수 있다.
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