유한체 (finite field)

수학노트
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개요

  • 유한체의 크기 $q$는 적당한 소수 $p$와 자연수 $r$에 대하여 $q=p^r$를 만족
  • 크기가 같은 두 유한체는 동형이며, $\mathbb{F}_q$로 나타냄
  • 갈루아 체라고 불리기도 함


성질

  • $\mathbb{F}_{q}^{\times}$는 순환군
  • $n$차의 기약다항식 $f\in \mathbb{F}_{p}[x]$에 대하여, 다음이 성립

$$ \mathbb{F}_{p^n}\cong \mathbb{F}_{p}[x]/(f) $$

  • 유한체 \(\mathbb{F}_{q}\) 는 방정식 \(x^{q}-x=x(x^{q-1}-1)=0\) 의 근으로 구성
  • $x^{p^n}-x$는 $\mathbb{F}_{p}$위에서 차수가 $n$을 나누고, 최고차항이 1이며 기약인 모든 다항식들의 곱으로 분해됨
  • 가령 $\mathbb{F}_2$위에서 다음이 성립

$$ x^{2^5}-x=x (x+1) \left(x^5+x^2+1\right) \left(x^5+x^3+1\right) \left(x^5+x^3+x^2+x+1\right) \left(x^5+x^4+x^2+x+1\right) \left(x^5+x^4+x^3+x+1\right) \left(x^5+x^4+x^3+x^2+1\right) $$


  • $(\mathbb{F}_7,+,\cdot)$
  • 덧셈표

$$ \begin{array}{c|ccccccc} + & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 0 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 1 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 \\ 2 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 \\ 3 & 3 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 \\ 4 & 4 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 \\ 5 & 5 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 6 & 6 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \end{array} $$

  • 곱셈표

$$ \begin{array}{c|ccccccc} \cdot & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ \hline 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\ 2 & 0 & 2 & 4 & 6 & 1 & 3 & 5 \\ 3 & 0 & 3 & 6 & 2 & 5 & 1 & 4 \\ 4 & 0 & 4 & 1 & 5 & 2 & 6 & 3 \\ 5 & 0 & 5 & 3 & 1 & 6 & 4 & 2 \\ 6 & 0 & 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 \\ \end{array} $$


관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스


리뷰논문, 에세이, 강의노트


관련논문

  • Weingartner, Andreas. ‘On the Degrees of Polynomial Divisors over Finite Fields’. arXiv:1507.01920 [math], 7 July 2015. http://arxiv.org/abs/1507.01920.