이중적분과 바젤문제

수학노트
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개요

  • \(\zeta(2) ={\pi^2}/{6}\) 의 계산을 다음 이중적분을 이용해 할 수 있다

\[\int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy \]

  • 또 다른 이중적분

\[\int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x y}dxdy \]
도 사용할 수 있는데, 이는 다이로그 함수(dilogarithm) 와 관계있다

 

증명

  • 다음의 등식을 증명하자

$$I = \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}\,dxdy=\frac{3}{4}\zeta(2)$$ 


단계 1

다음을 보이자 \[I = \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}+\cdots\tag{1}\]

(증명) \[\int_{0}^{1} \frac{1}{1-y^2 x^2} \, dx = \frac{\tanh ^{-1}(y)}{y}=1+\frac{y^2}{3}+\frac{y^4}{5}+\frac{y^6}{7}+\frac{y^8}{9}+\frac{y^{10}}{11}+\cdots\] 이므로 \[I = \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy = \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}+\cdots\] 가 성립한다.■

 

 

단계 2

$$I=\frac{\pi ^2}{8}$$ (증명) \[I = \int _0^1\int _0^1\frac{1}{1-x^2 y^2}dxdy\] 에서 \(x=\sin (u) \sec (v)\), \(y=\sec (u) \sin (v)\) 로 치환을 하자.

자코비안은 다음과 같다. \[\left| \begin{array}{cc} \cos (u) \sec (v) & \sin (u) \tan (v) \sec (v) \\ \tan (u) \sec (u) \sin (v) & \sec (u) \cos (v) \end{array} \right|=1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)\] 치환적분을 하면 \[I=\int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{\pi/2-v} \frac{1}{1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)}\left(1-\tan ^2(u) \tan ^2(v)\right) \,dudv =\frac{\pi ^2}{8}\]■

 

 

또다른 증명

\(I = \frac{1}{1^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{9^2}+\cdots = \frac{3}{4}\zeta(2)\) 임을 보이자.

(증명) 먼저 다음을 관찰하자 \[\frac{1}{2^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{8^2}+\frac{1}{10^2}+\cdots = \frac{1}{4}\zeta(2)\tag{2}\]

따라서 (1)와 (2)의 양변을 더하면, 다음을 얻는다 \[I + \frac{1}{4}\zeta(2)=\zeta(2)\] ■

 

 

 

역사

 

 

관련된 항목들

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

사전 형태의 자료


 

리뷰논문, 에세이, 강의노트

  • Silagadze, Z. K. “Sums of Generalized Harmonic Series for Kids from Five to Fifteen.” arXiv:1003.3602 [math], March 16, 2010. http://arxiv.org/abs/1003.3602.