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* 소수 p에 대하여, 이차인 합동식 <math>x^2\equiv a \pmod p</math> 의 해의 개수에 관련된 문제.
 
* 소수 p에 대하여, 이차인 합동식 <math>x^2\equiv a \pmod p</math> 의 해의 개수에 관련된 문제.
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* <math>f(x)=x^2-5</math>라면,  홀수인 <math>p</math>에 대하여 이차잉여의 상호법칙을 사용하여 다음을 확인할 수 있다<br><math>p\equiv 1,4 \pmod 5</math> 인 경우, <math>f(x) \pmod p</math> 는 두 개의 일차식으로 분해됨<br><math>p\equiv 2,3 \pmod 5</math> 인 경우, <math>f(x) \pmod p</math> 는 분해되지 않음<br>
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<math>\left(\frac{a}{p}\right)  =  \begin{cases} \;\;\,0\mbox{ if } a \equiv 0 \pmod{p} \\+1\mbox{ if }a \not\equiv 0\pmod{p} \mbox{ and for some integer }x, \;a\equiv x^2\pmod{p} \\-1\mbox{ if there is no such } x.  \end{cases}</math>
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* 인수분해되는 방식에 따라서 <math>p</math>가 만족시키는 조건을 기술하는 것이 '상호법칙'
 
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* <math>f(x)=x^2-5</math>라면,  홀수인 <math>p</math>에 대하여 이차잉여의 상호법칙을 사용하여 다음을 확인할 수 있다<br><math>p\equiv 1,4 \pmod 5</math> 인 경우, <math>f(x) \pmod p</math> 는 두 개의 일차식으로 분해됨<br><math>p\equiv 2,3 \pmod 5</math> 인 경우, <math>f(x) \pmod p</math> 는 분해되지 않음<br>
 
  
 
 
 
 
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* [[프로베니우스와 체보타레프 밀도(density) 정리|Chebotarev density theorem]]
 
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* [[자코비 세타함수|세타함수]]
 
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* Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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* 네이버 지식인 http://kin.search.naver.com/search.naver?where=kin_qna&query=
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<h5>역사</h5>
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* 1796년 가우스에 의해 처음으로 증명
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* http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=quadratic+reciprocity
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* [[수학사연표 (역사)|수학사연표]]
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* 단어사전 http://www.google.com/dictionary?langpair=en|ko&q=
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* 발음사전 http://www.forvo.com/search/
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* [http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=&fstr= 대한수학회 수학 학술 용어집]<br>
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** http://mathnet.kaist.ac.kr/mathnet/math_list.php?mode=list&ftype=eng_term&fstr=
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* [http://www.nktech.net/science/term/term_l.jsp?l_mode=cate&s_code_cd=MA 남·북한수학용어비교]
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* [http://kms.or.kr/home/kor/board/bulletin_list_subject.asp?bulletinid=%7BD6048897-56F9-43D7-8BB6-50B362D1243A%7D&boardname=%BC%F6%C7%D0%BF%EB%BE%EE%C5%E4%B7%D0%B9%E6&globalmenu=7&localmenu=4 대한수학회 수학용어한글화 게시판]
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<h5>사전 형태의 자료</h5>
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/
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* http://en.wikipedia.org/wiki/
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* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
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* [http://dlmf.nist.gov/ NIST Digital Library of Mathematical Functions]
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* [http://www.research.att.com/%7Enjas/sequences/index.html The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences]<br>
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** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
  
 
 
 
 
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<h5>관련도서 및 추천도서</h5>
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<h5>관련도서</h5>
  
 
* [http://www.amazon.com/Fearless-Symmetry-Exposing-Patterns-Numbers/dp/0691124922 Fearless Symmetry: Exposing the Hidden Patterns of Numbers]<br>
 
* [http://www.amazon.com/Fearless-Symmetry-Exposing-Patterns-Numbers/dp/0691124922 Fearless Symmetry: Exposing the Hidden Patterns of Numbers]<br>

2010년 2월 5일 (금) 19:48 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 소수 p에 대하여, 이차인 합동식 \(x^2\equiv a \pmod p\) 의 해의 개수에 관련된 문제.

 

 

이차잉여

 

 

'상호법칙'이란
  • 문제 : 정수계수 다항식 \(f(x)\)를 \(\pmod p\)로 생각할 때 어떻게 인수분해되는가
  • 인수분해되는 방식에 따라서 \(p\)가 만족시키는 조건을 기술하는 것이 '상호법칙'
  • \(f(x)=x^2-5\)라면,  홀수인 \(p\)에 대하여 이차잉여의 상호법칙을 사용하여 다음을 확인할 수 있다
    \(p\equiv 1,4 \pmod 5\) 인 경우, \(f(x) \pmod p\) 는 두 개의 일차식으로 분해됨
    \(p\equiv 2,3 \pmod 5\) 인 경우, \(f(x) \pmod p\) 는 분해되지 않음

 

 

르장드르 부호

\(\left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases} \;\;\,0\mbox{ if } a \equiv 0 \pmod{p} \\+1\mbox{ if }a \not\equiv 0\pmod{p} \mbox{ and for some integer }x, \;a\equiv x^2\pmod{p} \\-1\mbox{ if there is no such } x. \end{cases}\)

 

 

정리

(정리) 이차잉여의 상호법칙

홀수인 서로 다른 소수 p, q에 대하여,

 \(\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{(p-1)(q-1)/4}\)

 

\(\left(\frac{p}{q}\right) = \begin{cases} +\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if }p\equiv 1 \pmod{4} \mbox{ or } q \equiv 1 \pmod{4} \\-\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if } p\equiv q \equiv 3 \pmod{4} \end{cases}\) 형태로 쓸 수도 있음.

 

 

 

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