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<math>\left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases} \;\;\,0\mbox{ if } a \equiv 0 \pmod{p} \\+1\mbox{ if }a \not\equiv 0\pmod{p} \mbox{ and for some integer }x, \;a\equiv x^2\pmod{p} \\-1\mbox{ if there is no such } x. \end{cases}</math> | <math>\left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases} \;\;\,0\mbox{ if } a \equiv 0 \pmod{p} \\+1\mbox{ if }a \not\equiv 0\pmod{p} \mbox{ and for some integer }x, \;a\equiv x^2\pmod{p} \\-1\mbox{ if there is no such } x. \end{cases}</math> | ||
2012년 5월 26일 (토) 18:20 판
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개요
- 정수 a를 소수 p로 나눈 나머지가 어떤 완전제곱수를 p로 나눈 나머지와 같으면 이차잉여라 한다
- 소수 p에 대하여, 이차합동식 \(x^2\equiv a \pmod p\) 의 해의 개수에 관련된 문제로 볼 수 있다
이차잉여
- 합동식 (모듈로 modulo 연산)
- 소수 3에 대한 이차잉여
- 3으로 나눈 나머지가 1인수
- 소수 5에 대한 이차잉여
- 5로 나눈 나머지가 1 또는 4
- 소수 7에 대한 이차잉여
- 7로 나눈 나머지가 1,2,4 인 정수
'상호법칙'이란
- 문제 : 정수계수 다항식 \(f(x)\)를 \(\pmod p\)로 생각할 때 어떻게 인수분해되는가
- 인수분해되는 방식에 따라서 \(p\)가 만족시키는 조건을 기술하는 것이 '상호법칙'
- \(f(x)=x^2-5\)라면, 홀수인 \(p\)에 대하여 이차잉여의 상호법칙을 사용하여 다음을 확인할 수 있다
\(p\equiv 1,4 \pmod 5\) 인 경우, \(f(x) \pmod p\) 는 두 개의 일차식으로 분해됨
\(p\equiv 2,3 \pmod 5\) 인 경우, \(f(x) \pmod p\) 는 분해되지 않음
르장드르 부호
\(\left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases} \;\;\,0\mbox{ if } a \equiv 0 \pmod{p} \\+1\mbox{ if }a \not\equiv 0\pmod{p} \mbox{ and for some integer }x, \;a\equiv x^2\pmod{p} \\-1\mbox{ if there is no such } x. \end{cases}\)
정리
(정리) 이차잉여의 상호법칙
홀수인 서로 다른 소수 p, q에 대하여,
\(\left(\frac{p}{q}\right) \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{(p-1)(q-1)/4}\)
\(\left(\frac{p}{q}\right) = \begin{cases} +\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if }p\equiv 1 \pmod{4} \mbox{ or } q \equiv 1 \pmod{4} \\-\left(\frac{q}{p}\right)\mbox{ if } p\equiv q \equiv 3 \pmod{4} \end{cases}\) 형태로 쓸 수도 있음.
역사
- 1796년 가우스에 의해 처음으로 증명
- http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=quadratic+reciprocity
- 수학사연표
재미있는 사실
- http://mathoverflow.net/questions/1420/whats-the-best-proof-of-quadratic-reciprocity
- http://mathoverflow.net/questions/43240/what-is-the-l-function-version-of-quadratic-reciprocity
- 네이버 지식인
관련된 항목들
- 가우스합
- 더 일반적인 상호법칙들(reciprocity laws)
- 등차수열의 소수분포에 관한 디리클레 정리
- 이차 수체에 대한 디리클레 class number 공식
- Chebotarev density theorem
- 세타함수
매스매티카 파일 및 계산 리소스
- https://docs.google.com/leaf?id=0B8XXo8Tve1cxMTVkNzg5MzAtMDAxZi00YWFmLWJkMGMtMTY2ZWY2NjlhMGYw&sort=name&layout=list&num=50
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- http://functions.wolfram.com/
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
사전 형태의 자료
관련도서
- Avner Ash, Robert Gross Fearless Symmetry: Exposing the Hidden Patterns of Numbers
- Reciprocity Laws. From Euler to Eisenstein
- Franz Lemmermeyer (Springer, 2000)
- The Fourier-Analytic Proof of Quadratic Reciprocity
- Michael C. Berg
- 도서내검색
- 도서검색
관련논문
- Applications of heat kernels on abelian groups: ζ(2n), quadratic reciprocity, Bessel integrals
- Anders Karlsson
- Quadratic Reciprocity: Its Conjecture and Application
- David A. Cox, The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 5 (May, 1988), pp. 442-448
- Harold M. Edwards, Euler and Quadratic ReciprocityMathematics Magazine, Vol. 56, No. 5 (Nov., 1983), pp. 285-291
- Why Study Equations over Finite Fields?
- Neal Koblitz, Mathematics Magazine, Vol. 55, No. 3 (May, 1982), pp. 144-149
- What is a Reciprocity Law?
- B. F. Wyman, The American Mathematical Monthly, Vol. 79, No. 6 (Jun. - Jul., 1972), pp. 571-586
- Theorems on Quadratic Residues
- Albert Leon Whiteman, Mathematics Magazine, Vol. 23, No. 2 (Nov. - Dec., 1949), pp. 71-74
- http://ko.wikipedia.org/wiki/이차잉여
- http://en.wikipedia.org/wiki/quadratic_reciprocity