이차 수체 유클리드 도메인의 분류

수학노트
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개요

  • 복소 이차 수체 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-d})\) 의 대수적정수집합이 유클리드 도메인이 되는 경우는 다음 다섯 가지가 있음.
    • \(d=1,2,3,7,11\)
  • 실 이차 수체 \(\mathbb{Q}(\sqrt{d})\) 의 정수집합이 자연스런 norm 에 의해 유클리드 도메인이 되는 경우는 다음 16가지가 있음.
    • d=2,3,5,6,7,11,13,17,19,21,29,33,37,41,57,73
  • norm-Euclidean 이 아닌 경우의 일반적인 경우는 미해결
  • 예를 들어
  • \(\mathbb{Z}[\sqrt{14}]\) 는 division algorithm 이 존재한다
  • Harper has shown that Z[sqrt(14)] is Euclidean. See his paper in Canad. J. Math. 56 (2004), no. 1, 55--70
  • Harper, Malcolm; Murty, M. Ram (2004), "Euclidean ri   ngs of algebraic integers", Canadian Journal of Mathematics56 (1): 71–76

 

 

유클리드 도메인이 아닌 예

  • 복소 이차 수체 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-5})\) 의 대수적정수집합 \(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]=\{a+b\sqrt{-5}:a,b\in \mathbb{Z}\}\)
  • \(6=2\cdot3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})\) 이므로 UFD가 될 수 없다. 
  • 이차형식 x^2+5y^2 에서 판별식이 -20인 정수계수 이차형식 \({x^2+5 y^2,2 x^2+2 x y+3 y^2}\) 를 통해서 PID가 아님을 알 수 있다

 

 

 

PID이면서 유클리드 도메인이 아닌 예

  • 복소 이차 수체 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-19})\) 의 대수적정수 집합\[\mathbb{Z}[\theta]=\{a+b\theta:a,b\in \mathbb{Z}\}\] 여기서 \(\theta=\frac{-1+\sqrt{-19}}{2}\)
  • http://www.mathreference.com/id,npid.html
  • [Campoli1988]

 

 

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