"이차 수체 유클리드 도메인의 분류"의 두 판 사이의 차이

2012년 5월 24일 (목) 15:54 판

복소 이차 수체 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-d})\) 의 대수적정수집합이 유클리드 도메인이 되는 경우는 다음 다섯 가지가 있음.
- \(d=1,2,3,7,11\)
실 이차 수체 \(\mathbb{Q}(\sqrt{d})\) 의 정수집합이 자연스런 norm 에 의해 유클리드 도메인이 되는 경우는 다음 16가지가 있음.
- d=2,3,5,6,7,11,13,17,19,21,29,33,37,41,57,73
norm-Euclidean 이 아닌 경우의 일반적인 경우는 미해결
예를 들어
\(\mathbb{Z}[\sqrt{14}]\) 는 division algorithm 이 존재한다
Harper has shown that Z[sqrt(14)] is Euclidean. See his paper in Canad. J. Math. 56 (2004), no. 1, 55--70
Harper, Malcolm; Murty, M. Ram (2004), "Euclidean ri ngs of algebraic integers", Canadian Journal of Mathematics56 (1): 71–76

복소 이차 수체 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-5})\) 의 대수적정수집합 \(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]=\{a+b\sqrt{-5}:a,b\in \mathbb{Z}\}\)
\(6=2\cdot3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})\) 이므로 UFD가 될 수 없다.
이차형식 x^2+5y^2 에서 판별식이 -20인 정수계수 이차형식 \({x^2+5 y^2,2 x^2+2 x y+3 y^2}\) 를 통해서 PID가 아님을 알 수 있다

복소 이차 수체 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-19})\) 의 대수적정수 집합
\(\mathbb{Z}[\theta]=\{a+b\theta:a,b\in \mathbb{Z}\}\) 여기서 \(\theta=\frac{-1+\sqrt{-19}}{2}\)
http://www.mathreference.com/id,npid.html
[Campoli1988]

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 ** <math>d=1,2,3,7,11</math>
 *  실 이차 수체 <math>\mathbb{Q}(\sqrt{d})</math> 의 정수집합이 자연스런 norm 에 의해 유클리드 도메인이 되는 경우는 다음 16가지가 있음.<br>
-**   <br>
 ** d=2,3,5,6,7,11,13,17,19,21,29,33,37,41,57,73
 * norm-Euclidean 이 아닌 경우의 일반적인 경우는 미해결
 * 예를 들어
-*
+* <math>\mathbb{Z}[\sqrt{14}]</math> 는 division algorithm 이 존재한다
-* Harper, Malcolm; [http://en.wikipedia.org/wiki/M._Ram_Murty Murty, M. Ram] (2004), [http://www.mast.queensu.ca/%7Emurty/harper-murty.pdf "Euclidean rings of algebraic integers"], <em>Canadian Journal of Mathematics</em>'''56''' (1): 71–76
+* Harper has shown that Z[sqrt(14)] is Euclidean. See his paper in Canad. J. Math. 56 (2004), no. 1, 55--70
+* Harper, Malcolm; [http://en.wikipedia.org/wiki/M._Ram_Murty Murty, M. Ram] (2004), [http://www.mast.queensu.ca/%7Emurty/harper-murty.pdf "Euclidean ri   ngs of algebraic integers"], <em>Canadian Journal of Mathematics</em>'''56''' (1): 71–76