이차 수체 유클리드 도메인의 분류
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개요
- 복소 이차 수체 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-d})\) 의 대수적정수집합이 유클리드 도메인이 되는 경우는 다음 다섯 가지가 있음.
- \(d=1,2,3,7,11\)
- 실 이차 수체 \(\mathbb{Q}(\sqrt{d})\) 의 정수집합이 유클리드 도메인이 되는 경우는 다음 16가지가 있음.
- d=2,3,5,6,7,11,13,17,19,21,29,33,37,41,57,73
유클리드 도메인이 아닌 예
- 복소 이차 수체 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-5})\) 의 대수적정수집합 \(\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]=\{a+b\sqrt{-5}:a,b\in \mathbb{Z}\}\)
- \(6=2\cdot3=(1+\sqrt{-5})(1-\sqrt{-5})\) 이므로 UFD가 될 수 없다.
- 이차형식 x^2+5y^2 에서 판별식이 -20인 정수계수 이차형식 \({x^2+5 y^2,2 x^2+2 x y+3 y^2}\) 를 통해서 PID가 아님을 알 수 있다
PID이면서 유클리드 도메인이 아닌 예
- 복소 이차 수체 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-19})\) 의 대수적정수 집합
- http://www.mathreference.com/id,npid.html
-
재미있는 사실
- Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=
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역사
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- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- Principal Ideal Domains are Almost Euclidean
- John Greene, The American Mathematical Monthly, Vol. 104, No. 2 (Feb., 1997), pp. 154-156
- Non-Galois Cubic Fields which are Euclidean but not Norm-Euclidean
- David A. Clark, Mathematics of Computation, Vol. 65, No. 216 (Oct., 1996), pp. 1675-1679
- A quadratic field which is Euclidean but not norm-Euclidean
- Clark DA, Manuscripta mathematica 83: 327–330, 1994
- Euclidean Quadratic Fields
- R. B. Eggleton, C. B. Lacampagne and J. L. Selfridge, The American Mathematical Monthly, Vol. 99, No. 9 (Nov., 1992), pp. 829-837
- [A Principal Ideal Domain That Is Not a Euclidean Domain
- Oscar A. Campoli, The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 9 (Nov., 1988), pp. 868-871
- The Euclidean Algorithm
- Motzkin, T., Bull. Amer. Math. Soc. 55, 1142-1146, 1949.
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=euclidean+domain
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
- http://www.ams.org/mathscinet
- http://dx.doi.org/10.1007/BF02567617
관련도서
- An Introduction to the Theory of Numbers
- GH Hardy, EM Wright, Oxford Science Publications
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