이항계수의 반전공식

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http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 1월 1일 (일) 18:02 판
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개요
  • \(k=0,1,\cdots, n\) 에 대하여, \(a_0,\cdots,a_n\) 과 \(b_0,\cdots,b_n\) 이 다음 관계를 만족시킨다고 하자.
    \(a_k=\sum_{i=0}^{k}{k\choose i}b_i\)
    그러면
    \(b_k=\sum_{i=0}^{k}(-1)^{k-i}{k\choose i}a_i\) 가 성립한다.
  • 원소의 개수가 n인 집합 E의 부분집합들이 이루는 poset 에 대해 뫼비우스 반전공식 을 적용한 것으로 이해할 수 있다
    • 이 때 뫼비우스 함수는 \(\mu(S,T)=(-1)^{\left|T\setminus S\right|}\) 으로 주어진다

 

 

 

행렬을 통한 이해
  • n=5 인 경우
    \(\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 6 & 4 & 1 & 0 \\ 1 & 5 & 10 & 10 & 5 & 1 \end{array} \right)\) 의 역행렬은
    \(\left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ -1 & 3 & -3 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -4 & 6 & -4 & 1 & 0 \\ -1 & 5 & -10 & 10 & -5 & 1 \end{array} \right)\) 이다.

 

 

\(\sum_{k=m}^n (-1)^{k-m} \binom{k}{m} \binom{n}{k} = \delta_{mn}\)

 

 

 

역사

 

 

 

메모
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