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<math>\theta(\tau)=\frac{\eta(2\tau)^5}{\eta(\tau)^2\eta(4\tau)^2}</math>
 
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<math>\frac{\theta_3^2(q)+\theta_4^2(q)}{2}=\theta_3(q^2)</math>
 
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주어진 <math>0<k<1</math> 에 대하여, <math>k=k(q)=\frac{\theta_2^2(q)}{\theta_3^2(q)}</math>를 만족시키는 <math>q</math>가 존재한다. 이 때,
  
 
<math>M(1,k')=\theta_3^{-2}(q)</math> 와 <math>K(k) = \frac{\pi}{2}\theta_3^2(q)</math>가 성립한다.<math>K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}} = \frac{\pi}{2}\theta_3^2(q)</math>
 
<math>M(1,k')=\theta_3^{-2}(q)</math> 와 <math>K(k) = \frac{\pi}{2}\theta_3^2(q)</math>가 성립한다.<math>K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}} = \frac{\pi}{2}\theta_3^2(q)</math>
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* [http://www.math.ohio-state.edu/%7Eeconrad/Jacobi/Jacobi.html Karl Gustav Jacob Jacobi]<br>
 
* [http://www.math.ohio-state.edu/%7Eeconrad/Jacobi/Jacobi.html Karl Gustav Jacob Jacobi]<br>
 
** [http://www.math.ohio-state.edu/%7Eeconrad/Jacobi/sumofsq Jacobi's Four Square Theorem]. (Also available in [http://www.math.ohio-state.edu/%7Eeconrad/Jacobi/sumofsq.ps postscript format] [11 pages].) [CONSTRUCTION IN PROGRESS]
 
** [http://www.math.ohio-state.edu/%7Eeconrad/Jacobi/sumofsq Jacobi's Four Square Theorem]. (Also available in [http://www.math.ohio-state.edu/%7Eeconrad/Jacobi/sumofsq.ps postscript format] [11 pages].) [CONSTRUCTION IN PROGRESS]
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* http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=jacobi's+triple+product
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* [http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=jacobi%27s+triple+product http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=jacobi's+triple+product]
 
*  http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=<br>  <br>
 
*  http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=<br>  <br>

2009년 11월 7일 (토) 18:18 판

간단한 소개
  • 세타함수의 정의 (spectral decomposition of heat kernel)
    \(\theta(\tau)=\theta_3(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}= \sum_{n=-\infty}^\infty e^{\pi i n^2\tau}\), \(q=e^{2\pi i \tau}\)

\(\theta_{2}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty q^{(n+\frac{1}{2})^2/2}\)

\(\theta_{4}(\tau)= \sum_{n=-\infty}^\infty (-1)^n q^{n^2/2}\)

 

 

여러가지 공식들

\(\theta_2^4(q)+\theta_4^4(q)=\theta_3^4(q)\)

\(\theta_3^2(q^2)+\theta_2^2(q^2)=\theta_3^2(q)\)

\(\theta_3^2(q^2)-\theta_2^2(q^2)=\theta_3^2(q)\)

 

 

 

세타함수의 Modularity

\(\theta(-\frac{1}{\tau})=\sqrt{\frac{\tau}{i}} \theta({\tau})\)

\(\tau=iy, y>0\) 으로 쓰면,

\(\theta(\frac{i}{y})=\sqrt{y} \theta({iy)\)

 

(증명)

포아송의 덧셈 공식을 사용한다.

\(\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n)\)

\(f(x)=e^{\pi i x^2\tau\)의 푸리에 변환은 다음과 같이 주어진다.

\(\hat{f}(\xi)=\sqrt{\frac{i}{\tau}}e^{-\pi i\frac{\xi^2}{\tau}\)

\(\theta(\tau)= \sum_{\in \mathbb Z} \exp(\pi i n^2\tau)=\sum_{n\in \mathbb Z}f(n)=\sum_{n\in \mathbb Z}\hat{f}(n)=\sqrt{\frac{i}{\tau}}\sum_{n\in \mathbb Z}e^{-\pi i n^2 \frac{1}{\tau}}=\sqrt{\frac{i}{\tau}}\theta(-\frac{1}{\tau})\) (증명끝)

 

 

Triple product 공식

\(\sum_{n=-\infty}^\infty z^{n}q^{n^2}= \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + zq^{2m-1}\right) \left( 1 + z^{-1}q^{2m-1}\right)\)

\(z=1\) 인 경우

\(\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2}= \prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + q^{2m-1}\right)^2\)

 

triple product 의 증명

q-초기하급수(q-hypergeometric series)

\(\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)

\(\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1+zq^n}=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^n}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)

를 활용

 

\(\prod_{m=0}^\infty \left( 1 + zq^{2m+1}\right)=\sum_{n\geq 0}\frac{q^nz^n}{(1-q^2)(1-q^4)\cdots(1-q^{2n})}\)

  • [Andrews65] 참조

 

 

데데킨트 에타함수와의 관계

\(\theta(\tau)=\frac{\eta(2\tau)^5}{\eta(\tau)^2\eta(4\tau)^2}\)

triple product 공식을 이용

\(\theta(\tau)=\sum_{n=-\infty}^\infty q^{n^2/2}=\prod_{m=1}^\infty \left( 1 - q^{2m}\right) \left( 1 + q^{2m-1}\right) \left( 1 + q^{2m-1}\right)\)

 

세타함수와 singular modulus

\(k=k(\tau)=\frac{\theta_2^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

\(k'=\sqrt{1-k^2}=\frac{\theta_4^2(\tau)}{\theta_3^2(\tau)}\)

 

 

세타함수, AGM iteration, 타원적분

\(\frac{\theta_3^2(q)+\theta_4^2(q)}{2}=\theta_3(q^2)\)

\(\sqrt{\theta_3^2(q)\theta_4^2(q)}=\theta_4^2(q^2)\)

따라서 \(a_n=\theta_3^2(q^{2^n}),b_n=\theta_4^2(q^{2^n})\) 라 하면, \(a_n, b_n\)은 AGM iteration 을 만족하고 \(\lim_{n\to\infty}a_n=1\)이고, \(1=M(\theta_3^2(q),\theta_4^2(q))\)가 된다.

 

(정리)

주어진 \(0<k<1\) 에 대하여, \(k=k(q)=\frac{\theta_2^2(q)}{\theta_3^2(q)}\)를 만족시키는 \(q\)가 존재한다. 이 때,

\(M(1,k')=\theta_3^{-2}(q)\) 와 \(K(k) = \frac{\pi}{2}\theta_3^2(q)\)가 성립한다.\(K(k) = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{d\theta}{\sqrt{1-k^2 \sin^2\theta}} = \frac{\pi}{2}\theta_3^2(q)\)

 

(증명)

\(1=M(\theta_3^2(q),\theta_4^2(q))=\theta_3^{2}(q)M(1,\frac{\theta_4^2(q)}{\theta_3^2(q)})=\theta_3^{2}(q)M(1,k')\)

그러므로, \(M(1,k')=\theta_3^{-2}(q)\)이다.

한편, 란덴변환에 의해 \(K(k)=\frac{\pi}{2M(1,\sqrt{1-k^2})}\)가 성립(타원적분과 AGM의 관계 , 란덴변환과 AGM 참조)하므로,  \(K(k) = \frac{\pi}{2}\theta_3^2(q)\)도 증명된다. (증명끝)

 

 

 

많이 사용되는

 

 

관련된 학부 과목과 미리 알고 있으면 좋은 것들

 

 

관련된 대학원 과목

 

 

관련된 다른 주제들

 

표준적인 도서 및 추천도서
  • Brief Introduction to Theta Functions
    • BELLMAN, RICHARD
  • Tata Lectures on Theta I,II,III
    • David Mumford

 

위키링크

 

 

관련논문
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