"정오각형"의 두 판 사이의 차이

2009년 4월 21일 (화) 10:17 판

[/pages/3002548/attachments/1344232 180px-Ptolemy_Pentagon.svg.png]

\({b \over a}={{(1+\sqrt{5})}\over 2}\)

(증명)

삼각형 ABD에서 선분 AC는 각 A의 이등분선이다.

이는 각 DAC와 각 CAD가 같은 길이를 갖는 두 현 DC의 BC의 원주각이기 때문이다.

AC와 BD의 교점을 E라 하자.

각의 이등분선의 성질에 의해,

AB : AD = BE : DE 즉 a : b = b-a : a 가 성립한다.

\(b^2 - ab - a^2 = 0\)

\((\frac{b}{a})^2- \frac{b}{a} - 1 =0\)

[/pages/3002548/attachments/1344270 317px-Golden_triangle_in_pentagon.svg.png]

정오각형이 단위원에 내접하고 있고, 한 점의 좌표가 (1,0) 으로 주어진 경우
- 다른 점들의 x좌표는 \(\frac{-1+\sqrt{5}}{4} , \frac{-1-\sqrt{5}}{4}\) 로 주어짐.
양변을 \(x^2\)으로 나누면, \(x^2+x+1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=0\) 을 얻게됨.
\(t=x+\frac{1}{x}\) 로 치환하면, 원래의 방정식에서 다음 식을 얻을 수 있음.
\(x^2+\frac{1}{x^2}+x+\frac{1}{x}+1=(x+\frac{1}{x})^2+(x+\frac{1}{x})-1=t^2+t-1=0\)
방정식을 풀어가면,

\(t^2+t-1=0\)
\(t=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}\)
\(t=x+\frac{1}{x}\)
\(x^2-tx+1=0\)
\(x=\frac{t+\sqrt{t^2-4}}{2}\)
을 얻게 됨.
따라서 x는 유리수에서 시작하여, 사칙연산에 제곱근을 사용하여 표현가능하고, 따라서 자와 컴파스를 활용하여 작도가능.

미국의 국방성인 펜타곤은 정오각형 모양으로 지어졌음.
- http://images.google.com/images?q=pentagon
사과를 가로단면으로 자르면, 오각형 모양을 볼 수 있음.
- 사과는 별을 싣고… , 피타고라스의 창, 2007-12-23
신권인 5만원에는 오각형이 숨어 있음.
- 신권, 16가지 위조방지 `첨단옷` 입었다
  - 디지털타임스, 2009-2-25
살바도르 달리의 그림 '최후의 만찬'에는 정십이면체가 등장함
- http://images.google.com/images?q=dali+last+supper

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 *  정오각형이 단위원에 내접하고 있고, 한 점의 좌표가 (1,0) 으로 주어진 경우<br>
-**  다른 점들의 x좌표는 <math>\frac{-1+\sqrt{5}}{4} , \frac{-1-\sqrt{5}}{4}</math> 로 주어짐.<br>  <br>  <br>
+** 다른 점들의 x좌표는 <math>\frac{-1+\sqrt{5}}{4} , \frac{-1-\sqrt{5}}{4}</math> 로 주어짐.
+*   <br> 양변을 <math>x^2</math>으로 나누면, <math>x^2+x+1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=0</math> 을 얻게됨.<br>'''<math>t=x+\frac{1}{x}</math>''' 로 치환하면, 원래의 방정식에서 다음 식을 얻을 수 있음.<br><math>x^2+\frac{1}{x^2}+x+\frac{1}{x}+1=(x+\frac{1}{x})^2+(x+\frac{1}{x})-1=t^2+t-1=0</math><br> 방정식을 풀어가면,<br>  <br><math>t^2+t-1=0</math><br><math>t=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}</math><br><math>t=x+\frac{1}{x}</math><br><math>x^2-tx+1=0</math><br><math>x=\frac{t+\sqrt{t^2-4}}{2}</math><br>  을 얻게 됨. <br> 따라서 x는 유리수에서 시작하여, 사칙연산에 제곱근을 사용하여 표현가능하고, 따라서 자와 컴파스를 활용하여 작도가능.<br>  <br>  <br>