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PSL(2,7)은 3차원 표현을 가지므로 \mathbb{C}[x,y,z]에 작용한다.
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PSL(2,7)은 3차원 표현을 가지므로 에 작용한다.
  
 
any polynomial invariant under PSL(2,7) also invariant under subgroup of order 21.
 
any polynomial invariant under PSL(2,7) also invariant under subgroup of order 21.

2012년 7월 24일 (화) 18:58 판

이 항목의 스프링노트 원문주소

 

 

개요
  • 종수(genus)가 3인 복소대수곡선
    • \(\mathbb CP^2\) 에서 \(x^3y+y^3z+z^3x=0\) 로 주어진 (복소) 대수곡선
    • 푸앵카레 상반평면을 universal covering으로 갖는 쌍곡기하학의 곡면
      \(\mathbb H^2/\Gamma(7)\)
      \(\Gamma(7)=\left\{\begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix} \in SL(2,\mathbb Z) : \begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} 1&0\\0&1 \end{bmatrix} \pmod 7\right\}\)
  • 쌍곡기하학 세계의 Platonic solid, 즉 정다면체
    • 정칠각형으로 24조각으로 만들어진 정이십사면체
    • 자기동형군, 즉 대칭군은 PSL(2,7)와 동형임. 
    • 168가지의 대칭을 가짐

 

 

자기동형군
  • \(x^3y+y^3z+z^3x=0\)
  • order 3
    x-> y-> z-> x
  • order 7
    x->ax, y->by, z->cz for some a,b,c
    we want a^3b=b^3c=c^3a
    solution : a=\zeta^4, b=\zeta^2,c=\zeta^1 where \zeta^7=1

 

PSL(2,7)
  • PSL(2,7) (isomorphic PSL(3,2)) has order 168
  • GL(2,7) has order (7^2-1)(7^2-7)
  • SL(2,7) has order (7^2-1)7=6\times 7\times 8
  • PSL(2,7) has order 6\times 7\times 8/2
  • 크기가 가장 작은 후르비츠 군이다 (a^2=b^3=c^7=abc=1)
    a=S, b=ST, c=T 로 두면 된다(S,T는 모듈라 군(modular group) 의 원소)
    \(S=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \), \(T=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \)

 

 

PSL(2,7)은 3차원 표현을 가지므로 에 작용한다.

any polynomial invariant under PSL(2,7) also invariant under subgroup of order 21.

(generated by order 3 transformation x-> y-> z-> x and order 7 transformation x->ax, y->by, z->cz where a=\zeta^4, b=\zeta^2,c=\zeta^1 where \zeta^7=1)

Not many invariant elements of degree 4.

Only monomials of degree 4 invariant under elements of order 7 are x^3y,y^3z,z^3x.

If in addition we require invariance under x->y->z-> x, only possibility is constant \times (x^3y+y^3z+z^3x).

If any Hurwitz group acts on a curve, then PSL(2,7) acts on x^3y+y^3z+z^3x=0

 

 

 

(2,3,7) 삼각형
  • 삼각형의 세 각이 각각
    \(\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\)
    로 주어지며, 이 세각의 크기를 모두 더하면,
    \(\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{41\pi}{42}\)
    가 되어, 180도보다 작게 된다.
  • 쌍곡기하학에서의 곡률은 음수이기 때문에 나타나는 현상이다.
  • 쌍곡기하학 항목 참조

 

 

전개도

 

[/pages/3063024/attachments/1372220 klein.gif]

 

 

세타함수
  • 세타함수
    \(\theta_{7,1}=\sum_{k\in Z}(-1)^{k}q^{\frac{(14k+1)^2}{56}}=q^{1/56}(q^3;q^7)_\infty (q^4; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty\)
    \(\theta_{7,3}=\sum_{k\in Z}(-1)^{k}q^{\frac{(14k+3)^2}{56}}=q^{9/56}(q^2;q^7)_\infty (q^5; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty}\)
    \(\theta_{7,5}=\sum_{k\in Z}(-1)^{k}q^{\frac{(14k+5)^2}{56}}=q^{25/56}(q;q^7)_\infty (q^6; q^7)_\infty(q^7;q^7)_\infty\)
  • 세타함수는 클라인 곡선을 매개화한다
    \(x=\theta_{7,1}\),\(y=-\theta_{7,5}\)\(z=\theta_{7,3}\)
    \(x^3y+y^3z+z^3x=0\)
    \(xyz=-\eta(\tau)\eta(7\tau)^2\)

 

 

조각

[/pages/3063024/attachments/1372200 DSCN4142.JPG]

 

 

재미있는 사실
  • A5 다음으로 크기가 작은 비가환 유한단순군이다. 168은 7×24, 일주일에 담긴 시간의 수
  • 쌍곡기하학의 정다면체로 이해할 수 있음.
    • 정칠각형 24조각

 

 

메모

 

 

매스매티카 파일 및 계산 리소스

 

 

관련된 항목들

 

 

사전형태의 자료

 

 

관련도서

 

 

관련논문

 

 

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