클라인의 4차곡선

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• 클라인의 4차곡선

 

 

개요

• 종수(genus)가 3인 복소대수곡선
  
  • \(\mathbb CP^2\) 에서 \(x^3y+y^3z+z^3x=0\) 로 주어진 (복소) 대수곡선
  • 푸앵카레 상반평면을 universal covering으로 갖는 쌍곡기하학의 곡면
    \(\mathbb H^2/\Gamma(7)\)
    \(\Gamma(7)=\left\{\begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix} \in SL(2,\mathbb Z) : \begin{bmatrix} a&b\\c&d \end{bmatrix} \equiv \begin{bmatrix} 1&0\\0&1 \end{bmatrix} \pmod 7\right\}\)
    
• 쌍곡기하학 세계의 Platonic solid, 즉 정다면체
  
  • 정칠각형으로 24조각으로 만들어진 정이십사면체
  • 자기동형군, 즉 대칭군은 PSL(2,7)임. 
  • 168가지의 대칭을 가짐

 

 

(2,3,7) 삼각형

• 삼각형의 세 각이 각각
  \(\frac{\pi}{7},\frac{\pi}{3},\frac{\pi}{2}\)
  로 주어지며, 이 세각의 크기를 모두 더하면,
  \(\frac{\pi}{7}+\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{2}=\frac{41\pi}{42}\)
  가 되어, 180도보다 작게 된다.
  
• 쌍곡기하학에서의 곡률은 음수이기 때문에 나타나는 현상이다.
• 쌍곡기하학 항목 참조

 

 

전개도

 

[/pages/3063024/attachments/1372220 klein.gif]

 

 

조각

[/pages/3063024/attachments/1372200 DSCN4142.JPG]

 

 

재미있는 사실

• A5 다음으로 크기가 작은 비가환 유한단순군이다. 168은 7×24, 일주일에 담긴 시간의 수
• 쌍곡기하학의 정다면체로 이해할 수 있음.
  
  • 정칠각형 24조각

 

 

메모

• http://www.math.uic.edu/~agol/conglink.pdf

 

 

관련된 다른 주제들

• 컴팩트 리만곡면의 자기동형군에 대한 Hurwitz 정리
• 비유클리드 기하학
• 반전사상(inversion)

 

 

 

 

관련도서

• The Eightfold Way: The Beauty of Klein's Quartic Curve
  
  • Edited by Silvio Levy

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관련논문

• Ramanujan modular forms and the Klein quartic
  
  • G. Lachaud, Mosc. Math. J., 5:4 (2005), 829–856
• Shimura curve computations
  
  • Noam Elkies, "Algorithmic Number Theory: 3rd International Symposium, ANTS-III; Portland, OR, 6/98: Proceedings", J.P.Buhler, ed.; Lecture Notes in Computer Science, Vol.1423, pages 1-47, 2000

• On the Order-Seven Transformation of Elliptic Functions
  
  • Felix Klein (translated by Silvio Levy)
• A Hyperbolic Plane Coloring and the Simple Group of Order 168
  
  • Dana Mackenzie, The American Mathematical Monthly, Vol. 102, No. 8 (Oct., 1995), pp. 706-715
• Riemann surfaces as descriptors for symmetrical negative curvature carbon and boron nitride structures
  
  • KING R. Bruce, Croatica chemica acta, 2002, vol. 75, no2, pp. 447-473
• Platonic tilings of Riemann surfaces

 

 

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