오일러-라그랑지 방정식
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개요
\(J = \int_a^b F(x,f(x),f'(x))\, dx\) 를 최대 또는 최소로 만들기 위한 조건
\(0 = \frac{\partial F}{\partial f} - \frac{d}{dx} \frac{\partial F}{\partial f'}\)
고전물리의 최소작용원칙
\(\displaystyle S(q) = \int_a^b L(t,q(t),q'(t))\, \mathrm{d}t\)
\({\partial L\over\partial q} - {\mathrm{d}\over \mathrm{d}t }{\partial L\over\partial \dot{q}} = 0\)
예1. 입자의 운동
- 위치가 q인 곳에서의 위치에너지가 \(V(q)\)로 주어지는 경우
- 라그랑지안\[L(q,\dot{q})=T-V=\frac{1}{2}m{\dot{q}}^2-V(q)\]
- 작용\[\mathcal{S} = \int_{t_0}^{t_1} L(q,\dot{q}) \,dt\]
- 운동방정식
- 오일러-라그랑지 방정식 \({\partial L\over\partial q} - {\mathrm{d}\over \mathrm{d}t }{\partial L\over\partial \dot{q}} = 0\) 을 적용하면, \(\frac{dV}{dq}+m\ddot{q}=0\)를 얻는다.
다변수인 경우로의 확장
\( I[f] = \int_{\Omega} \mathcal{L}(x_1, \dots , x_n, f, f_{x_1}, \dots , f_{x_n})\, \mathrm{d}\mathbf{x}\,\! ~;~~ f_{x_i} := \cfrac{\partial f}{\partial x_i}\)
\(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f} - \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial}{\partial x_i} \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial f_{x_i}} = 0. \,\!\)
역사
- http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=euler+lagrange+equation
- http://www.google.com/search?hl=en&tbs=tl:1&q=lagrangian+mechanics
- 수학사 연표
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