포락선(envelope)과 curve stitching

수학노트
http://bomber0.myid.net/ (토론)님의 2012년 8월 2일 (목) 17:45 판
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개요
  • "one-parameter family 에 있는 모든 곡선에 적어도 한 점에서 접하는 성질을 갖는" 곡선
  • 이러한 곡선을 주어진 곡선의 family에 대한 envelope 이라 부른다.
  • Curve Stitching 또는 String Art 라는 이름으로 불림

 

 

envelope 
  • 곡선들이 파라메터 t 에 의해 \(F(x,y,t)=0\) 로 주어진다고 가정하자.
  • envelope은 다음 연립방정식을 풀어 얻을 수 있다.
    \(\left\{ \begin{array}{c} F(x,y,t)=0 \\ \frac{\partial F}{\partial t}(x,y,t)=0 \end{array} \right.\)

 

(증명)

주어진 \(t=t_0\)에 대하여, envelope의 점이 \((x(t_0),y(t_0))\) 로 주어진다고 하자.

\(F(x(t),y(t),t)=0\)

\(\left\{ \begin{array}{c} F(x,y,t)=0 \\ \frac{\partial F}{\partial t}(x,y,t)=0 \end{array} \right.\)

 

 

 

예1
  • 파라메터 t에 대하여 다음과 같은 직선들을 생각하자
    \(\frac{x}{t}+\frac{y}{10-t}=1\)

[/pages/9431928/attachments/5587508 parabola1.gif]

  • 위에선 \(t=1,\cdots, 9\) 에 대한 그림을 그렸다
  • 그림을 보면, 이 직선들에 접하는 곡선이 나타나는 것을 관찰할 수 있다.
  • 포락선을 구하기 위해 위에서 언급한 결과를 이용하자
    \(F(x,y,t)=t^2 + t(y-x-10) + 10x\)
    \(\frac{\partial F(x,y,t)}{\partial t}=2t+ y-x-10\)
  • 따라서 envelope은 다음 두 방정식에서 t를 소거함으로써 얻을 수 있다.
    \(\left\{ \begin{array}{c} t^2 + t(y-x-10) + 10x=0 \\ 2t+ y-x-10=0 \end{array} \right.\)
  • 이로부터 \(x^2-2 x y-20 x+y^2-20 y+100=0\) 를 얻는다.
  • 이는 이차곡선(원뿔곡선) 으로 판별식 \(\Delta=b^2-4ac=4-4=0\) 인, 포물선이 된다.
    [/pages/9431928/attachments/5587494 parabola2.gif]

 

 

예2: 어떤 타원들의 envelope
  • 파라메터 t에 대하여 다음과 같은 타원들이 주어진다고 하자
    \(\frac{x^2}{t^2}+\frac{y^2}{(1-t)^2}=1\)
  • \(F(x,y,t)=(t-1)^2 (t-x) (t+x)-t^2 y^2\)
  • \(F_{t}(x,y,t)=-2 \left(2 t^3-3 t^2-t x^2-t y^2+t+x^2\right)\)
  • \(\left\{ \begin{array}{c} F(x,y,t)=0 \\ \frac{\partial F}{\partial t}(x,y,t)=0 \end{array} \right.\) 으로부터 다음의 두 관계식을 얻을 수 있다
    \(\left\{ \begin{array}{c} y^2=(1-t)^3 \\ x^2=t^3 \end{array}\)
  • t를 소거하면 \(x^{2/3}+y^{2/3}=1\) 를 얻는다.
  • 이는 애스트로이드 (astroid) 가 된다

 

 

역사

 

 

 

메모

http://playingwithmathematica.com/2011/04/27/curve-stitching-with-mathematica/

http://britton.disted.camosun.bc.ca/string_art/jbstringart.htm

http://www.wikihow.com/Create-a-Line-Design

 

베지에 곡선

http://en.wikipedia.org/wiki/B%C3%A9zier_curve#Quadratic_curves

 

 

예

parabolic line construction

http://demonstrations.wolfram.com/CircleChordEnvelope/

 

 

envelope

http://en.wikipedia.org/wiki/Envelope_(mathematics)

http://jwilson.coe.uga.edu/Texts.Folder/Envel/envelopes.html

 

envelope equation

http://www.sjsu.edu/faculty/watkins/envelopetheo.htm

 

Envelopes and String Art (Gregory Quenell) http://faculty.plattsburgh.edu/gregory.quenell/pubpdf/stringart.pdf

 

 

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