하이젠베르크 군과 대수

개요

양자 조화진동자\[[X,P] = X P - P X = i \hbar\]

유한차원 하이젠베르크 대수

가환 리대수의 1차원 중심 확대(central extension)

\([p_i, q_j] = \delta_{ij}z\)
\([p_i, z] = 0\)
\([q_j, z] = 0\)

3차원 하이젠베르크 군과 대수의 예

하이젠베르크 대수

위삼각행렬(upper triangular matrix) \(\left( \begin{array}{ccc} 0 & p & c \\ 0 & 0 & q \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\)를 3차원 하이젠베르크 대수 \(\mathfrak{h}\)의 원소\((p,q,c)=pP+qQ+cC\)로 이해할 수 있다
다음과 같은 교환 관계식을 만족한다\[[\left( \begin{array}{ccc} 0 & p & c \\ 0 & 0 & q \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right), \left( \begin{array}{ccc} 0 & p' & c' \\ 0 & 0 & q' \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)]=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & p q'-q p' \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right)\]

하이젠베르크 군

지수함수를 이용하여, 하이젠베르크 군 \(\mathbb{H}\)을 정의할 수 있다

\[\exp:\mathfrak{h} \to \mathbb{H}\]

\(\mathbb{H}\)의 원소는 다음과 같은 형태로 주어진다

\[ \exp(pP+qQ+cC)=\exp \begin{pmatrix} 0 & p & c \\ 0 & 0 & q \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} =\left( \begin{array}{ccc} 1 & p & c+\frac{p q}{2} \\ 0 & 1 & q \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \]

\(\mathbb{H}\)의 원소를 \((p,q,c)\in \mathfrak{h}\)로 나타내면, \(\mathbb{H}\)에서의 곱셈은 다음과 같이 주어진다

\[ (p,q,c)(p',q',c')=(p+p',q+q',c+c'+\frac{1}{2}(pq'-qp')) \]

이는 베이커-캠벨-하우스도르프 공식을 이용하여 얻을 수 있다

\[ \exp(A)\exp(B)=\exp(A+B+\frac{1}{2}[A,B]) \]

자기동형군

겹선형형식 \((pq'-qp')\)를 보존하는 \(A:\mathbb{R^2}\to \mathbb{R^2}\)는 자기동형군의 원소가 된다
즉 크기가 2인 사교 행렬은 하이젠베르크 군의 자기동형군의 원소이다

역사

메모

http://djalil.chafai.net/blog/2011/10/08/aspects-of-the-heisenberg-group/
spin vs metaplectic
Math Overflow http://mathoverflow.net/search?q=

수학용어번역

central - 대한수학회 수학용어집
- central extension 중심 확대
bilinear - 대한수학회 수학용어집
- bilinear form 겹선형형식

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxajRGcXZ6clJTQ2M/edit

사전 형태의 자료

리뷰논문, 에세이, 강의노트

Peter Woit의 강의 노트
- The Heisenberg Algebra
- The Metaplectic Representation