2016학년도 대학수학능력시험 수학 B형 29번

수학노트
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개요

  • 2016학년도 대학수학능력시험 수학 B형 29번 문제에 대하여, 실험수학 (experimental mathematics) 적 접근을 시도함
  • 경험과학으로서의 수학을 소개하는 에세이
  • 문제풀이의 4단계 전략
  1. 매개화를 이용하여 문제를 실험이 가능한 형태로 만들기
  2. 임의 추출을 이용한 실험을 수행하여 근사값 찾기
  3. 수치해석적 방법으로 더 정확한 근사값 찾기
  4. PSLQ 알고리즘을 적용하여 정확한 답을 찾기


문제의 이해

주어진 문제는 다음과 같다

좌표공간의 두 점 <math>A(2,\sqrt{2},\sqrt{3})</math> , <math>B(1,-\sqrt{2},2 \sqrt{3})</math> 에 대하여 점 <math>P</math> 는 다음 조건을 만족시킨다.

(가) <math>|\overrightarrow{AP}|=1</math>

(나) <math>\overrightarrow{AP}</math>와 <math>\overrightarrow{AB}</math>가 이루는 각의 크기는 <math>\frac{\pi}{6}</math>이다.

중심이 원점이고 반지름의 길이가 1인 구 위의 점 <math>Q</math>에 대하여 <math>\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AQ}</math>의 최댓값이 <math>a+b\sqrt{33}</math>이다. <math>16(a^2+b^2)</math>의 값을 구하시오. (단, <math>a,b</math>는 유리수이다.)

2016학년도 대학수학능력시험 수학 B형 29번1.gif

문제의 조건을 만족시키는 점 <math>P</math>는 위 그림의 원위에, <math>Q</math>는 단위구면 위에 놓여 있다. 이러한 조건 위에서 <math>\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AQ}</math>의 값을 최대로 만들려고 한다.

여기서는 <math>\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AQ}</math>의 최대값을 찾기 위해서, <math>P</math>와 <math>Q</math>를 임의로 뽑아내가면서, 그 값이 얼마나 커질 수 있는지에 대한 실험을 수행할 것이다.

원과 구면의 매개화

실험을 수행하기 위해서 <math>P</math>와 <math>Q</math>가 놓인 원과 구면을 매개화하자.

벡터의 내적과 외적에 대한 계산을 성실하게 수행하면 (물론 컴퓨터가 했다), <math>P</math>는 다음과 같은 원위에 놓여 있음을 알 수 있다.

<math>

P(t):=\left(\sqrt{\frac{3}{22}} \sin (t)+\frac{7 \cos (t)}{4 \sqrt{33}}+\frac{7}{4},-\frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{11}} \sin (t)+\frac{\cos (t)}{\sqrt{66}}+\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{44} \left(-2 \sqrt{22} \sin (t)+5 \sqrt{11} \cos (t)+55 \sqrt{3}\right) \right),\quad 0\leq t\leq 2\pi \label{PP} </math>

단위구면은 구면좌표계를 이용하여 매개화할 수 있다.

<math>

Q(u,v):=\left(\cos u \sin v, \sin u \sin v, \cos v \right),\quad 0\leq u\leq 2\pi,0\leq v\leq\pi \label{QQ} </math>

임의 추출을 이용한 실험

이제 컴퓨터를 이용하여 <math>0\leq t\leq 2\pi,0\leq u\leq 2\pi,0\leq v\leq\pi</math>를 만족하는 <math>(t,u,v)</math>를 임의로 뽑아낸 뒤, \ref{PP}와 \ref{QQ}를 이용하여, <math>P=P(t)</math>와 <math>Q=Q(u,v)</math>를 구하고, <math>\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AQ}</math>의 값을 구하자.

이를 백만번 시행하면서 전보다 더 큰 <math>\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AQ}</math>의 값이 얻어질 때마다 이를 기록하자. 아래는 <math>n</math>번째 임의 추출에서 얻은 값 <math>\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AQ}</math>과 <math>(t,u,v)</math>의 표이다.

<math>

\begin{array}{c|c|c} n & \overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AQ} & (t,u,v) \\ \hline 1 & 1.90334 & \{3.30047,2.08294,0.964364\} \\ 7 & 2.22899 & \{4.09651,2.8632,0.706553\} \\ 10 & 2.26728 & \{3.43351,4.16351,2.86169\} \\ 12 & 2.56336 & \{3.46444,3.90584,0.325815\} \\ 37 & 2.69629 & \{2.94468,3.36154,0.925869\} \\ 44 & 2.75229 & \{2.92377,5.14198,1.36891\} \\ 55 & 2.77746 & \{3.65922,3.5053,1.8994\} \\ 120 & 2.79647 & \{2.57083,4.29973,1.00076\} \\ 134 & 2.99473 & \{2.90661,4.08459,2.09397\} \\ 432 & 3.15013 & \{3.28658,4.25869,1.42484\} \\ 680 & 3.16119 & \{3.19468,3.89187,1.44537\} \\ 6695 & 3.17031 & \{3.08166,4.22474,1.6721\} \\ 9331 & 3.17362 & \{3.2183,3.98487,1.57295\} \\ 25934 & 3.17667 & \{3.19106,3.98259,1.54103\} \\ 67319 & 3.17772 & \{3.10662,4.02173,1.48524\} \\ 82935 & 3.18138 & \{3.06238,4.17261,1.51169\} \\ 160703 & 3.18452 & \{3.11131,4.16613,1.48792\} \\ 266823 & 3.18483 & \{3.16744,4.1446,1.53316\} \\ 353596 & 3.18553 & \{3.14674,4.10179,1.4851\} \\ 556290 & 3.18614 & \{3.14195,4.12252,1.51449\} \\ \end{array} </math>

표에 해당하는 <math>P</math>와 <math>Q</math>의 위치가 어떻게 변하는지를 아래의 그림에서 관찰할 수 있다.

2016학년도 대학수학능력시험 수학 B형 29번2.gif

이 실험이 말해주는 것은 분명하다. <math>\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AQ}</math>의 값을 최대로 만드는 쌍 <math>(P,Q)</math>는 유일하게 존재하며, 그 값은 3.18 언저리이다.

내적의 최대값 찾기

매스매티카의 명령어 NMaximize를 이용하면, <math>0\leq t\leq 2\pi,0\leq u\leq 2\pi,0\leq v\leq\pi</math>일 때, 3변수 함수 <math>\overrightarrow{AP(t)}\cdot\overrightarrow{AQ(u,v)}</math>의 수치화된 최대값을 찾을 수 있는데, 이는 3.1861406616345071649626528670547323295550661144957 이다.

이는 위에서 실행한 실험의 결과에 부합한다. 따라서 이제 <math>\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AQ}</math>의 최대값에 대한 확신을 가질 수 있다.

PSLQ 알고리즘의 적용

이제 위에서 얻은 값을 <math>\alpha=3.1861406616345071649626528670547323295550661144957</math>라 두자.

문제에서는 <math>\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AQ}</math>의 최대값이 <math>a+b\sqrt{33}, a,b\in \mathbb{Q}</math>꼴이라고 하였으므로, 만약에 <math>a+b\sqrt{33}=\alpha</math>의 관계가 성립한다면, 적당한 정수 <math>p,q,r</math>가 존재하여 <math>p+q \sqrt{33}+r \alpha=0</math>이 성립해야 한다.

이러한 상황에서 유용한 실험수학의 알고리즘이 바로 PSLQ 알고리즘이다. 이는 주어진 여러개의 실수 사이에 정수 계수를 이용한 선형 결합 관계가 존재하는지를 찾는데 이용된다. PSLQ 알고리즘을 적용하면, <math>(p,q,r)=(7,1,-4)</math>를 얻는다. 즉 <math>7+\sqrt{33}-4 \alpha=0</math>가 성립할 개연성이 높다는 것이다.

따라서 <math>(a,b)=(7,1)/4</math>이고, 문제의 답은 50이 된다.

참고로, 이렇게 내적의 값을 최대로 만드는 <math>P</math>와 <math>Q</math>의 위치는 다음과 같다

<math>

\begin{aligned} P & =\left(\frac{7}{4}-\frac{7}{4 \sqrt{33}},\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{66}},\frac{5 \sqrt{3}}{4}-\frac{5}{4 \sqrt{11}}\right) \\ Q & =\left(-\frac{1}{4}-\frac{7}{4 \sqrt{33}},-\sqrt{\frac{17}{33}+\frac{1}{\sqrt{33}}},\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{5}{4 \sqrt{11}}\right) \end{aligned} </math>

2016학년도 대학수학능력시험 수학 B형 29번3.gif

연분수의 활용

  • <math>\alpha=3.1861406616345071649626528670547323295550661144957</math>가 실이차수체의 원소이므로 연분수 전개를 이용할수도 있다
<math>

\alpha=3+\frac{1}{5+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{5+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{\cdots}}}}}}}}}=[3;5,2,1,2,5,2,1,2,\cdots] </math>

  • <math>\alpha=3+\beta</math>로 두면, <math>\beta=[0;5,2,1,2+\beta]=\frac{3 \beta +8}{16 \beta +43}</math>가 성립하고, 따라서
<math>

\beta=\frac{1}{4} \left(\sqrt{33}-5\right) </math>

관련된 항목들


매스매티카 파일 및 계산 리소스

리뷰, 에세이, 강의노트

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