연분수

수학노트
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개요

  • 다음과 같은 형태로 주어지는 수를 연분수라 한다

\[a_0+\frac{b_1}{a_1+\frac{b_2}{a_2+\frac{b_3}{a_3+\frac{b_4}{a_4+\frac{b_5}{a_5+\frac{b_6}{a_6+\frac{b_7}{a_7+\frac{b_8}{a_8+\frac{b_9}{a_9+\frac{b_{10}}{a_{10}}}}}}}}}}}\]

  • 다음과 같은 경우를 단순연분수라 한다

$$ c=a_0+\frac{1}{a_1+\frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+\frac{1}{a_4+\frac{1}{a_5+\cdots}}}}} $$

  • 이를 $c=[a_0;a_1,a_2,\cdots]$로 표현한다
  • convergents $c_n=[a_0;a_1,a_2,\cdots,a_n]$를 정의
  • $c_n$의 분자 $p_n$와 분모 $q_n$로 이루어진 수열에 대하여 다음이 성립한다
    • \( \begin{vmatrix} p_{n} & p_{n+1} \\ q_{n} & q_{n+1} \end{vmatrix}=(-1)^{n+1} \)
    • \(p_{n+1}=a_{n+1}p_n+p_{n-1}\)
    • \(q_{n+1}=a_{n+1}q_n+q_{n-1}\)
  • $p_n$과 $q_n$에 대해서는 Continuant 항목을 참조

 

루트 2

  • 루트 2의 연분수 전개는 $[1;2,2,2,\cdots]$, 즉 다음과 같이 주어진다

\[\sqrt{2}=1+\cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2 + \ddots}}}\]

  • convergents $\{c_n\}_{n\geq 0}$는 다음과 같이 주어진다

$$ \begin{array}{c|cccccccccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline c_n & 1 & \frac{3}{2} & \frac{7}{5} & \frac{17}{12} & \frac{41}{29} & \frac{99}{70} & \frac{239}{169} & \frac{577}{408} & \frac{1393}{985} & \frac{3363}{2378} \\ \end{array} $$

  • $c_n$의 분자 $p_n$와 분모 $q_n$로 이루어진 수열을 생각하자

$$ \begin{array}{c|cccccccccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline p_n & 1 & 3 & 7 & 17 & 41 & 99 & 239 & 577 & 1393 & 3363 \\ q_n & 1 & 2 & 5 & 12 & 29 & 70 & 169 & 408 & 985 & 2378 \\ \end{array} $$

  • 다음이 성립한다
    • \(p_n^2-2 q_n^2=(-1)^{n-1}\)
    • \( \begin{vmatrix} p_{n} & p_{n+1} \\ q_{n} & q_{n+1} \end{vmatrix}=(-1)^{n-1} \)
    • \(p_{n+1}=2p_n+p_{n-1}, p_0=1, p_1=3\)
    • \(q_{n+1}=2q_n+q_{n-1}, q_0=1, q_1=2\)
  • 2의 제곱근(루트 2, 피타고라스 상수)

황금비

  • 황금비의 연분수 전개는 $[1;1,1,1,\cdots]$, 즉 다음과 같이 주어진다

\[\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1+\cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \ddots}}}\]

  • convergents $\{c_n\}_{n\geq 0}$는 다음과 같이 주어진다

$$ \begin{array}{c|cccccccccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline c_n & 1 & 2 & \frac{3}{2} & \frac{5}{3} & \frac{8}{5} & \frac{13}{8} & \frac{21}{13} & \frac{34}{21} & \frac{55}{34} & \frac{89}{55} \\ \end{array} $$

  • $c_n$의 분자 $p_n$와 분모 $q_n$로 이루어진 수열을 생각하자

$$ \begin{array}{c|cccccccccc} n & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 \\ \hline p_n & 1 & 2 & 3 & 5 & 8 & 13 & 21 & 34 & 55 & 89 \\ q_n & 1 & 1 & 2 & 3 & 5 & 8 & 13 & 21 & 34 & 55 \\ \end{array} $$

  • 다음이 성립한다
    • \( \begin{vmatrix} p_{n} & p_{n+1} \\ q_{n} & q_{n+1} \end{vmatrix}=(-1)^{n-1} \)
    • \(p_{n+1}=p_n+p_{n-1}, p_0=1, p_1=2\)
    • \(q_{n+1}=q_n+q_{n-1}, q_0=1, q_1=1\)


역사

 

 

 

메모

 

 

 

관련된 항목들

매스매티카 파일 및 계산 리소스


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