4차 상호법칙

개요

4차의 정수계수 다항식 \(f(x)\)를 \(\pmod p\)로 분해할 때 나타나는 현상의 이해

4차 상호법칙

거듭제곱 잉여 부호

거듭제곱 잉여 부호와 상호법칙 항목 참조

용어와 기호

\(i=\sqrt{-1}\)
\(\alpha\in \mathbb{Z}[i]\)가 \(\alpha\equiv \pm 1 \bmod 2+2i\)를 만족하면, \(\alpha\)를 primary라고 부른다
- 이는 \(\alpha=a+bi, a + b \equiv a − b \equiv 1 \pmod 4\)와 동치
\(N\alpha=a^2+b^2\)

상호법칙

정리

\(\alpha,\beta\in \mathbb{Z}[i]\)가 서로소이고 primary라 하자.

\[\Bigg(\frac{\alpha}{\beta}\Bigg)_4 \Bigg(\frac{\beta}{\alpha}\Bigg)_4^{-1}=(-1)^{\frac{N\alpha-1}{4}\frac{N\beta-1}{4}}. \] 다음과 같은 보조 법칙이 성립한다 \[ \Bigg(\frac{i}{\alpha}\Bigg)_4 = i^\frac{1-a}{4},\;\;\; \Bigg(\frac{1+i}{\alpha}\Bigg)_4 = i^\frac{a-b-b^2-1}{4},\;\;\; \Bigg(\frac{2}{\alpha}\Bigg)_4 = i^\frac{b}{2}. \]

테이블

다음 표의 \((a,b)\)는 \(a+bi\in \mathbb{Z}[i]\)를 나타냄
빈 칸은 잉여 부호가 정의되지 않음을 의미
서로 소인 소수 \(x,y\in \mathbb{Z}[i]\)에 대한 \(\left(\frac{y}{x}\right)_4\)의 값

\[ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} x\ddots y & (-3,0) & (-1,-2) & (-1,2) & (-7,0) & (-11,0) & (3,-2) & (3,2) & (1,-4) & (1,4) & (-19,0) \\ \hline (-3,0) & & i & -i & 1 & 1 & -1 & -1 & i & -i & 1 \\ \hline (-1,-2) & i & & i & -i & -1 & 1 & -i & -i & -1 & 1 \\ \hline (-1,2) & -i & -i & & i & -1 & i & 1 & -1 & i & 1 \\ \hline (-7,0) & 1 & -i & i & & 1 & i & -i & -i & i & 1 \\ \hline (-11,0) & 1 & -1 & -1 & 1 & & i & -i & -i & i & 1 \\ \hline (3,-2) & -1 & -1 & -i & i & i & & -i & -i & -i & -i \\ \hline (3,2) & -1 & i & -1 & -i & -i & i & & i & i & i \\ \hline (1,-4) & i & -i & -1 & -i & -i & -i & i & & -1 & -1 \\ \hline (1,4) & -i & -1 & i & i & i & -i & i & -1 & & -1 \\ \hline (-19,0) & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -i & i & -1 & -1 & \\ \hline\end{array} \]

매스매티카 파일 및 계산 리소스

https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxOHZsQ2VrS1lEemc/edit?pli=1

4차 상호법칙

목차

개요