Fundamental domain의 면적에 대한 지겔의 정리

지겔의 정리

정리 (지겔): fundamental domain <math>\mathbb H/\Gamma</math>의 면적은 <math>\pi \over 21</math> 이상이다.

곡률이 -1인 쌍곡평면의 삼각형의 세 각이 <math>\alpha, \beta, \gamma</math>로 주어져 있다면, 그 넓이는 <math>\Delta = \pi - \alpha- \beta- \gamma</math> 로 주어진다.

fundamental domain <math>\mathbb H/\Gamma</math> 에서 cycle의 수를 v, edge의 수를 e 로 두자.

<math>\mathbb H/\Gamma</math> 의 면적은 다음과 같다

여기서 <math>{l_i}</math> 는 각 cycle에 대한 isotropic 부분군의 크기임.

다음을 얻는다.

<math>{A \over{2\pi}}=e-1-\sum_{i=1}^{v}\frac{1}{l_i}\label{sieg1}</math>

오일러의 정리 <math>v-e+1=2-2g</math> 로부터 , <math>e-1=v+2g-2</math>를 식 \ref{sieg1}에 대입하면, 다음을 얻는다.

<math>A>0</math>이므로, 다음의 부등식이 성립해야 한다

<math>v=3</math> 이면, <math>1-\frac{1}{l_ 1}-\frac{1}{l_ 2}-\frac{1}{l_ 3}>0</math> 는 <math>l_ 1=2,l_ 2=3,l_ 3=7</math> 의 경우에 최소값을 갖는다.

따라서, 최소값은 <math>g=0,v=3, l_ 1=2,l_ 2=3,l_ 3=7</math> 인 경우에 얻어지며 그 값은 <math>{A \over{2\pi}}= 1/42</math>이다. (증명끝)

<math> Area = \pi - \alpha- \beta- \gamma</math>

이제 Unit Disk를 겹치지 않으면서도 빽빽하게 채울수 있는 가장 작은 삼각형은 무엇인지를 알아야 할 필요가 있다. 이 문제는 풀려고 든다면 사실,

<math>1- (\frac{1}{l}+\frac{1}{m}+\frac{1}{n})</math>

를 0보다 크면서 동시에 가장 작게 만드는 자연수 l,m,n 를 찾는 것과 같게 된다.

정답은 바로 아래의 그림에 있다. 혹시나 이런 그림을 읽을줄 모르는 사람들을 오늘 이걸 잘 봐둬서 앞으로 이런 류의 그림을 볼때 편안한 마음을 가질수 있도록 한다.

그림에 있는 삼각형 한 조각을 들고 와서 각을 잰다. 어떻게 하면 되겠는가. 각을 재려는 점 주변에 삼각형이 몇개 있는지 세서 나누면 된다. 각각 4조각, 6조각, 14조각이 있다. 그러므로 각도는

<math> \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{7}</math>

로 주어진다. 이를 _triangle _group (2,3,7) 삼각형이라 부른다. 위의 넓이 공식에 의하면, 이 삼각형의 넓이는

<math> Area = \pi - \frac{\pi}{2}- \frac{\pi}{3}- \frac{\pi}{7}=\frac{\pi}{42}</math>

한 편 우리가 찾고 있는 것은 automorphisms of Riemann surface이므로 당연히 orientation을 보존하고 따라서 초록색타일과 검은색타일은 서로 섞일수가 없다. 따라서 fundamental domain의 넓이도

<math> \frac{\pi}{42}</math>

의 두배 이상은 되어야 한다. 즉

<math>Area (U/N(\Gamma)) \ge \frac{\pi}{21}</math>