"P진 해석학(p-adic analysis)"의 두 판 사이의 차이

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==유리수체에 정의할 수 있는 거리의 개념==
 
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===p-adic 절대값===
 
===p-adic 절대값===
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* 소수 $p$와 정수 $x$에 대하여, $\operatorname{ord}_p x$를 $a\equiv 0\pmod p^m$을 만족하는 최대의 $m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$으로 정의하자
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* 소수 $p$와 정수 $x$에 대하여, $\operatorname{ord}_p x$를 $a\equiv 0\pmod {p^m}$을 만족하는 최대의 $m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$으로 정의하자
 
* 유리수 $x=a/b$에 대해서는 $\operatorname{ord}_p x:=\operatorname{ord}_p a-\operatorname{ord}_p b$
 
* 유리수 $x=a/b$에 대해서는 $\operatorname{ord}_p x:=\operatorname{ord}_p a-\operatorname{ord}_p b$
 
* 유리수체 $\mathbb{Q}$위에 함수 $|\cdot|_p$를 다음과 같이 정의하자
 
* 유리수체 $\mathbb{Q}$위에 함수 $|\cdot|_p$를 다음과 같이 정의하자
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|x|_{p} =
 
|x|_{p} =
 
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  \frac{1}{p^{\operatorname{ord}_p x}}, & \text{if $x\neq 0$}\\  
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  0, & \text{if $x=0$} \\  
 
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:<math>|x|_{p}=0 \iff x=0</math>:<math>|xy|_{p}=|x|_{p}|y|_{p}</math>:<math>|x+y|_{p}\leq |x|_{p}+|y|_{p}</math> 뿐만 아니라, <math>|x+y|_{p}\leq \operatorname{max} \{|x|_{p},|y|_{p}\}</math>가 성립한다.  
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* $|\cdot|_p$는 다음의 성질을 만족한다
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==유리수의 p진 전개==
 
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* 오른쪽으로 무한개의 소수자리
 
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* 왼쪽으로 ...
 
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==로랑급수와의 유사성==
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*  로랑급수:<math>\frac{a_{-3}}{x^3}+\frac{a_{-2}}{x^2}+\frac{a_{-1}}{x}+a_0+ a_1 x+ a_2 x^2+ a_3x^3+ a_4x^4+\cdots</math> 에서 고차항은 급수의 국소적인 행동에 작은 영향
 
*  로랑급수:<math>\frac{a_{-3}}{x^3}+\frac{a_{-2}}{x^2}+\frac{a_{-1}}{x}+a_0+ a_1 x+ a_2 x^2+ a_3x^3+ a_4x^4+\cdots</math> 에서 고차항은 급수의 국소적인 행동에 작은 영향
  
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==다항식의 해==
 
==다항식의 해==
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* <math>\mathbb{Q}_{5}</math> 에서 방정식 <math>x^2+1=0</math>의 두 해는 다음과 같다 <math>2+5+2\ 5^2+5^3+3\ 5^4+4\ 5^5+2\ 5^6+3\ 5^7+\cdots</math>:<math>x=2+5+2\times 5^2+5^3+3\times 5^4+4\times 5^5+2\times 5^6+3\times 5^7+\cdots</math>:<math>x=3+3\times 5+2\times 5^2+3\times 5^3+5^4+2\times 5^6+5^7+4\times 5^8+\cdots</math>
 
* <math>\mathbb{Q}_{5}</math> 에서 방정식 <math>x^2+1=0</math>의 두 해는 다음과 같다 <math>2+5+2\ 5^2+5^3+3\ 5^4+4\ 5^5+2\ 5^6+3\ 5^7+\cdots</math>:<math>x=2+5+2\times 5^2+5^3+3\times 5^4+4\times 5^5+2\times 5^6+3\times 5^7+\cdots</math>:<math>x=3+3\times 5+2\times 5^2+3\times 5^3+5^4+2\times 5^6+5^7+4\times 5^8+\cdots</math>
  
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==하위주제들==
 
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* p-adic 디리클레 L-함수
 
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* [[p진 감마함수(p-adic gamma function)|p-adic 감마함수]]
 
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*  1897년 쿠르트 헨젤이 개념을 도입
 
*  1897년 쿠르트 헨젤이 개념을 도입
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*  1913년 헨젤 ㅋ뫼두소대갿
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*  1913년 헨젤 zahlentheorie
 
*  1920년 Hasse principle
 
*  1920년 Hasse principle
  
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==관련된 항목들==
 
==관련된 항목들==
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* [[베르누이 수에 대한 쿰머 합동식]]
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* p-adic 디리클레 L-함수
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* [[p진 감마함수(p-adic gamma function)]]
 
* [[이진법]]
 
* [[이진법]]
 
* [[프랙탈]]
 
* [[프랙탈]]
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==사전 형태의 자료==
 
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==관련도서==
 
==관련도서==

2014년 7월 9일 (수) 22:23 판

개요

  • 실수체는 유리수체로부터 완비성을 갖도록 해줌으로써 구성됨
  • 그러나 실수체만이 유리수체의 완비화를 통해 얻어지는 것은 아님.
  • 완비성을 갖도록 해주기 위해서는 먼저 유리수 사이에 거리의 개념이 필요
    • 유리수체 위의 거리는 각 소수 p에 대응되는 거리의 개념과, 잘 알려진 (실수를 만드는) 절대값이 존재



유리수체에 정의할 수 있는 거리의 개념

실수에서의 절대값

  • 절대값은 다음의 성질을 만족한다
  1. \(|x|=0 \iff x=0\)
  2. \(|xy|=|x||y|\)
  3. \(|x+y|\leq |x|+|y|\) (삼각부등식)

p-adic 절대값

  • 소수 $p$와 정수 $x$에 대하여, $\operatorname{ord}_p x$를 $a\equiv 0\pmod {p^m}$을 만족하는 최대의 $m\in \mathbb{Z}_{\geq 0}$으로 정의하자
  • 유리수 $x=a/b$에 대해서는 $\operatorname{ord}_p x:=\operatorname{ord}_p a-\operatorname{ord}_p b$
  • 유리수체 $\mathbb{Q}$위에 함수 $|\cdot|_p$를 다음과 같이 정의하자

$$ |x|_{p} = \begin{cases} \frac{1}{p^{\operatorname{ord}_p x}}, & \text{if $x\neq 0$;}\\ 0, & \text{if $x=0$} \\ \end{cases} $$

  • $|\cdot|_p$는 다음의 성질을 만족한다
  1. \(|x|_{p}=0 \iff x=0\)
  2. \(|xy|_{p}=|x|_{p}|y|_{p}\)
  3. \(|x+y|_{p}\leq |x|_{p}+|y|_{p}\) 뿐만 아니라, \(|x+y|_{p}\leq \operatorname{max} \{|x|_{p},|y|_{p}\}\)가 성립한다.


유리수의 p진 전개

  • 주어진 소수 p에 대하여, 모든 유리수를 다음과 같은 꼴로 쓸 수 있다 (p진법 전개)

\[\sum_{k=n}^{\infty}b_{k}p^{k},\,b_k\in\{0,1,\cdots,p-1\}\]

  • 정수 k가 커질수록, \(p^{k}\) 는 p진체에서 점점 0에 가까워진다
  • 2-adic field에서는, \(1+2+4+8+16+32 +\cdots = \cdots 11111_{2}=-1\) 이 성립함.
  • 3-adic field에서는 \(2+2\cdot3+2\cdot3^{2}+2\cdot3^{2}\cdots=\cdots 22222_{3}=-1\)
  • 7-adic field에서는 \(4+3\cdot 7 +3\cdot 49+\cdots=\cdots 3334_{7} = 1/2\)


실수의 십진법 표현과의 비교

  • 오른쪽으로 무한개의 소수자리
  • 왼쪽으로 ...


로랑급수와의 유사성

  • 로랑급수\[\frac{a_{-3}}{x^3}+\frac{a_{-2}}{x^2}+\frac{a_{-1}}{x}+a_0+ a_1 x+ a_2 x^2+ a_3x^3+ a_4x^4+\cdots\] 에서 고차항은 급수의 국소적인 행동에 작은 영향


다항식의 해

  • \(\mathbb{Q}_{5}\) 에서 방정식 \(x^2+1=0\)의 두 해는 다음과 같다 \(2+5+2\ 5^2+5^3+3\ 5^4+4\ 5^5+2\ 5^6+3\ 5^7+\cdots\)\[x=2+5+2\times 5^2+5^3+3\times 5^4+4\times 5^5+2\times 5^6+3\times 5^7+\cdots\]\[x=3+3\times 5+2\times 5^2+3\times 5^3+5^4+2\times 5^6+5^7+4\times 5^8+\cdots\]



역사

  • 1897년 쿠르트 헨젤이 개념을 도입
  • 1913년 헨젤 zahlentheorie
  • 1920년 Hasse principle



관련된 항목들


사전 형태의 자료



관련도서


관련논문

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