Q-지수함수

수학노트
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개요

  • 지수함수 의 q-analogue
  • 지수함수의 멱급수 표현 \[e^{z}=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}\]
  • q-팩토리얼 은 다음과 같이 주어진다 \[[n]_q!= [1]_q [2]_q \cdots [n-1]_q [n]_q=\frac{1-q}{1-q} \frac{1-q^2}{1-q} \cdots \frac{1-q^{n-1}}{1-q} \frac{1-q^n}{1-q}\]
  • q-analogue 를 얻는다

\[e_q(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{[n]_q!}\]


q-지수함수와 무한곱

$$e_{q}\left(\frac{z}{1-q}\right)=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{(1-q)^n [n]_q!}=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{(q)_n}$$

오일러곱

\[\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\] \[\prod_{n=0}^{\infty}\frac{1}{1-zq^n}=\sum_{n\geq 0}\frac{1}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\]

역사



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