Q-초기하급수의 점근 급수

수학노트
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개요

  • <math>a>0,b\in\mathbb{R}</math>라 두자
  • <math>x>0</math>는 방정식 <math>1-x=x^{a}</math> 의 해라 하자.
  • <math>q=e^{-t}</math> 이고 <math>t\to 0</math> 일 때, 다음의 점근 급수를 얻는다 [McIntosh1995]
<math>\log \sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{\frac{a}{2}n^2+bn}}{(q)_n}\sim \log \left(\frac{x^b}{\sqrt{x+a(1-x)}}\right)+\frac{\operatorname{Li}_2(x^{a})+\frac{a}{2}\log^2 x}{t}</math> 또는
<math>\log \sum_{n=0}^{\infty}\frac{q^{\frac{a}{2}n^2+bn}}{(q)_n}\sim \log \left(\frac{x^b}{\sqrt{x+a(1-x)}}\right) +\frac{L(1-x)}{t}</math>

여기서 <math>L</math>은 로저스 다이로그 함수 (Rogers' dilogarithm)


예

  • <math>A=1/2</math>인 경우
<math>\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{\frac{n^2}{4}}} {(q;q)_n}\sim \frac{2}{\sqrt{5-\sqrt{5}}}\exp(\frac{\pi^2}{10t}-\frac{t}{40})</math>
<math>\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{\frac{n^2}{4}+\frac{n}{2}}} {(q;q)_n} \sim \frac{2}{\sqrt{5+\sqrt{5}}}\exp(\frac{\pi^2}{10t}+\frac{t}{40})</math>
<math>\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n^2/2}}{(q)_n}\sim \exp(\frac{\pi^2}{12t}-\frac{t}{48})</math>:<math>2\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(q)_n}\sim \sqrt{2}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})</math>:<math>\prod_{n=1}^{\infty}(1+q^n)=\sum_{n\geq 0}^{\infty}\frac{q^{n(n+1)/2}}{(q)_n}\sim \frac{1}{\sqrt{2}}\exp(\frac{\pi^2}{12t}+\frac{t}{24})</math>
<math>\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5+\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}+\frac{11t}{60})</math>
<math>\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2}} {(q;q)_n} \sim \sqrt\frac{2}{5-\sqrt{5}}\exp(\frac{\pi^2}{15t}-\frac{t}{60})</math>


역사



메모



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