Tschirnhaus transformation

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개요

  • 방정식의 계수를 간단히 하기 위해 사용되는 변수 변환
  • \(x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0\) 의 해를 \(x_{k}\), \(k=1,\cdots, n\) 이라 두자
  • \(y_{k}=\alpha_{n-1} x_k^{n-1} + \alpha_{n-2} x_k^{n-2} + \cdots + \alpha_1 x_k + a_0 = 0\)는 새로운 방정식 \(y^n + A_{n-1} y^{n-1} + A_{n-2} y^{n-2} + \cdots + A_1 x + A_0 = 0\)의 해가 된다

 

 

간단한 예

  • 3차 방정식의 근의 공식 에서 사용되는 변환
  • \(x^3+ax^2+bx+c=0\)의 2차항을 없애기 위해, \(x = t - a/3\) 라 두면, 새로운 방정식 \(t^3 + pt + q = 0\) 을 얻는다

 

 

5차 방정식

  • principal quintic \(z^5+5az^2+5bz+c=0\)
  • Brioschi quintic \(z^5-10az^3+45a^2z-a^2=0\)
  • Bring-Jerrard quintic \(z^5+Az+B=0\)

 

 

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