소수 정리
이 항목의 스프링노트 원문주소==
개요==
- \(x\) 이하의 소수의 갯수 \(\pi(x)\) 에 대해, \(x\) 가 크면 \(\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}\) 이다. 즉, \(\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)\log(x)}{x} = 1\) 이 성립한다.
- 가우스가 소수 표를 보다가 처음 발견
- 복소함수론을 사용한 해석적 증명이 얻어짐
- 후에 에르디시와 셀베르그에 의해 복소함수론을 사용하지 않는 초등적 증명(elementary proof)
동치명제==
- 다음은 소수정리와 동치이다
\(\varphi(x)=\sum_{p\leq x}\log p \sim x\)
(증명)
\(\varphi(x)=\sum_{p\leq x}\log p \leq \sum_{p\leq x}\log x=\pi(x)\log x\)
임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여,
\(\varphi(x)\geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}\log p \geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}(1-\epsilon)\log x = (1-\epsilon)\log x\{\pi(x)+O(x^{1-\epsilon}\}\)
따라서 \(\varphi(x)=\sum_{p\leq x}\log p \sim x\) 임을 가정하면, \(\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}\) 를 얻는다. ■
로그적분==
- 로그적분(logarithmic integral)
search?q=%EB%A1%9C%EA%B7%B8%EC%A0%81%EB%B6%84%28logarithmic%20integral%29&parent id=4426135\(\int_2^{\infty} \frac{1}{\log x}\,dx\)
역사
메모
- http://www.math.uiuc.edu/~r-ash/CV/CV7.pdf
- \(\pi(n)\sim \int_2^{n} \frac{1}{\log x}\,dx\)
관련된 항목들
수학용어번역==
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/소수정리
- http://en.wikipedia.org/wiki/prime_number_theorem
- [1]http://en.wikipedia.org/wiki/Explicit_formula
- http://en.wikipedia.org/wiki/Hardy–Littlewood_tauberian_theorem
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- D. Goldfeld, THE ELEMENTARY PROOF OF THE PRIME NUMBER THEOREM: AN HISTORICAL PERSPECTIVE
- An Elementary Proof of the Prime-Number Theorem
- Atle Selberg, The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 50, No. 2 (Apr., 1949), pp. 305-313
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
관련도서
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- \(x\) 이하의 소수의 갯수 \(\pi(x)\) 에 대해, \(x\) 가 크면 \(\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}\) 이다. 즉, \(\lim_{x \rightarrow \infty} \frac{\pi(x)\log(x)}{x} = 1\) 이 성립한다.
- 가우스가 소수 표를 보다가 처음 발견
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- 후에 에르디시와 셀베르그에 의해 복소함수론을 사용하지 않는 초등적 증명(elementary proof)
- 다음은 소수정리와 동치이다
\(\varphi(x)=\sum_{p\leq x}\log p \sim x\)
(증명)
\(\varphi(x)=\sum_{p\leq x}\log p \leq \sum_{p\leq x}\log x=\pi(x)\log x\)
임의의 \(\epsilon>0\)에 대하여,
\(\varphi(x)\geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}\log p \geq \sum_{x^{1-\epsilon}\leq p\leq x}(1-\epsilon)\log x = (1-\epsilon)\log x\{\pi(x)+O(x^{1-\epsilon}\}\)
따라서 \(\varphi(x)=\sum_{p\leq x}\log p \sim x\) 임을 가정하면, \(\pi(x)\sim\frac{x}{\log x}\) 를 얻는다. ■
- 로그적분(logarithmic integral)
search?q=%EB%A1%9C%EA%B7%B8%EC%A0%81%EB%B6%84%28logarithmic%20integral%29&parent id=4426135\(\int_2^{\infty} \frac{1}{\log x}\,dx\)
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/소수정리
- http://en.wikipedia.org/wiki/prime_number_theorem
- [1]http://en.wikipedia.org/wiki/Explicit_formula
- http://en.wikipedia.org/wiki/Hardy–Littlewood_tauberian_theorem
- http://www.wolframalpha.com/input/?i=
- NIST Digital Library of Mathematical Functions
- The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
관련논문
- D. Goldfeld, THE ELEMENTARY PROOF OF THE PRIME NUMBER THEOREM: AN HISTORICAL PERSPECTIVE
- An Elementary Proof of the Prime-Number Theorem
- Atle Selberg, The Annals of Mathematics, Second Series, Vol. 50, No. 2 (Apr., 1949), pp. 305-313
- http://www.jstor.org/action/doBasicSearch?Query=
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