리만 가설

수학노트
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개요

  • 리만제타함수의 함수방정식은 다음과 같음\[\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)\]
  • 자명한 해는 \(s=-2,-4,-6\cdots\)
  • 리만제타함수의 자명하지 않은 해(비자명해)는 그 실수부가 \(1/2\) 이라는 추측



소수정리

  • 리만 제타 함수와 소수 계량 함수의 관계
  • "모든 실수 t에 대하여 \(\zeta(1+it)\neq 0 \) 이다" 는 소수정리와 동치명제이다
  • 소수정리



비자명해의 수론적 특성

  • 추측
    • The positive imaginary parts of nontrivial zeros of \(\zeta(s)\) are linearly independent over \(\mathbb{Q}\)



일반화된 리만가설




응용

  • Rubinstein-Sarnak 1994
    • how often $\pi(x)>\operatorname{Li}(x)$
  • even(x) : number of natural numbers , even number of prime factors
  • Odd(x) : odd number of prime factors
  • 골드바흐 추측
  • 1923 하디-리틀우드
  • 1937비노그라도프
  • 1997 Deshouillers-Effinger-te Riele-Zinoviev
  • 순환소수에 대한 아틴의 추측

\[C_{\mathrm{Artin}}=\prod_{q\ \mathrm{prime}} \left(1-\frac{1}{q(q-1)}\right) = 0.3739558136\ldots.\]



Spectal theory and RH



Hilbert-Polya and random matrices

Noncommutatative geometry

  • Noncommutative Geometry, Quantum Fields, and Motives Alain Connes, Matilde Marcolli
  • Noncommutative Geometry and Number Theory: Where Arithmetic Meets Geometry and Physics (Aspects of Mathematics) Caterina Consani, Matilde Marcolli (Eds.)


Computation of non-trivial zeros


메모

역사



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사전 형태의 자료


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