# 리만 가설

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## 개요

• 리만제타함수의 함수방정식은 다음과 같음$\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)$
• 자명한 해는 $$s=-2,-4,-6\cdots$$
• 리만제타함수의 자명하지 않은 해(비자명해)는 그 실수부가 $$1/2$$ 이라는 추측

## 소수정리

• 리만 제타 함수와 소수 계량 함수의 관계
• "모든 실수 t에 대하여 $$\zeta(1+it)\neq 0$$ 이다" 는 소수정리와 동치명제이다
• 소수정리

## 비자명해의 수론적 특성

• 추측
• The positive imaginary parts of nontrivial zeros of $$\zeta(s)$$ are linearly independent over $$\mathbb{Q}$$

## 응용

• Rubinstein-Sarnak 1994
• how often $$\pi(x)>\operatorname{Li}(x)$$
• even(x) : number of natural numbers , even number of prime factors
• Odd(x) : odd number of prime factors
• 골드바흐 추측
• 1923 하디-리틀우드
• 1937비노그라도프
• 1997 Deshouillers-Effinger-te Riele-Zinoviev
• 순환소수에 대한 아틴의 추측

$C_{\mathrm{Artin}}=\prod_{q\ \mathrm{prime}} \left(1-\frac{1}{q(q-1)}\right) = 0.3739558136\ldots.$

## Noncommutatative geometry

• Noncommutative Geometry, Quantum Fields, and Motives Alain Connes, Matilde Marcolli
• Noncommutative Geometry and Number Theory: Where Arithmetic Meets Geometry and Physics (Aspects of Mathematics) Caterina Consani, Matilde Marcolli (Eds.)

## 메타데이터

### Spacy 패턴 목록

• [{'LOWER': 'hilbert'}, {'OP': '*'}, {'LOWER': 'pólya'}, {'LEMMA': 'conjecture'}]