완전제곱식 만들기
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개요
- 2차 방정식의 근의 공식에서 사용되는 완전제곱식 만들기의 일반화
1변수의 경우
\[ \begin{aligned} \frac{a}{2}x^2+bx+c=& \frac{a}{2}(x^2+\frac{2b}{a}+\frac{b^2}{a^2})-\frac{b^2}{2a}+c\\ {}=& \frac{a}{2}(x+\frac{b}{a})^2+c-\frac{b^2}{2a} \end{aligned} \]
다변수의 경우
- \(A\)는 역행렬을 갖는 \(n\times n\) 대칭 행렬, \(\mathbf{b}=(b_i)_{i=1,\cdots,n}\)는 n-벡터, \(c\)는 상수라 하자
- 다음의 식을 완전제곱의 형태로 만들려고 한다
\[ \frac{1}{2}\mathbf{x}^t A\mathbf{x}+\mathbf{b}^t \mathbf{x}+c = \frac{1}{2}\sum_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j+\sum_{i=1}^{n}b_i x_i+c \]
- 1변수에서의 경우와 유사하게 다음이 성립한다
\[ \frac{1}{2}\mathbf{x}^t A\mathbf{x}+\mathbf{b}^t \mathbf{x}+c =\frac{1}{2}(\mathbf{x}+A^{-1}\mathbf{b})^t A(\mathbf{x}+A^{-1}\mathbf{b})+c-\frac{1}{2}\mathbf{b}^t A^{-1}\mathbf{b} \]
- N차원 가우시안 적분에 응용
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