"볼록다면체에 대한 데카르트 정리"의 두 판 사이의 차이

2011년 11월 7일 (월) 11:44 판

다각형의 외각의 합
다각형의 모양에 상관없이 그 외각의 합은 \(2\pi\)

위의 그림에서 a,b,c,d,e가 각 점의 외각의 크기.
이를 다 합하면 \(2\pi\)가 됨.
다면체에 대해서도 비슷한 정리가 성립하며, 이를 다면체에 대한 데카르트 정리라고 부름
다면체의 한 점에서의 결손각(angle defect)의 개념이 다각형의 외각에 대응

다면체	그림	점 V	선 E	면 F	V-E+F	한점에서의 결손각 A	결손각의 총합 V × A
정사면체	[[\|Tetrahedron]]	4	6	4	4-6+4=2	\(2\pi-3\times \frac{\pi}{3}=\pi\)	\(4\times \pi=4\pi\)
정육면체	[[\|Hexahedron (cube)]]	8	12	6	8-12+6=2	\(2\pi-3\times \frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\)	\(8\times \frac{\pi}{2}=4\pi\)
정팔면체	[[\|Octahedron]]	6	12	8	6-12+8=2	\(2\pi-4\times \frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}\)	\(6\times \frac{2\pi}{3}=4\pi\)
정십이면체	[[\|Dodecahedron]]	20	30	12	20-30+12=2	\(2\pi-3\times \frac{3\pi}{5}=\frac{\pi}{5}\)	\(20\times \frac{\pi}{5}=4\pi\)\(20\times\frac{\pi}{5}=4\pi\)
정이십면체	[[\|Icosahedron]]	12	30	20	12-30+20=2	\(2\pi-5\times \frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{3}\)	\(12\times\frac{\pi}{3}=4\pi\)

다면체의 점, 선, 면의 개수를 각각 V,E,F 라고 하자.

각 점에서의 결손각의 총합

이제, 를 다면체에 있는 k-각형의 개수라 하자.

k각형의 내각의 합은 이므로, 위의 식은 다음과 같아진다.

여기서 가 성립하는데, 이는 각 변이 두번씩 세어지기 때문이다. 따라서 위의 식은

(오일러의 정리가 사용되었음)■

점의 개수를 세지말고, 한 점에 정오각형이 세 개 모여있다는 것을 확인

정오각형의 한 점의 내각의 크기가 \({3\pi}/{5}\)

한 점에서의 결손각이 \({\pi}/{5}\)가 된다는 것을 알수 있음.

데카르트의 정리에 의해 \(4\pi\) 를 이 숫자로 나누면 점의 개수 20을 얻게 됨.

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 <h5>개요</h5>
+* [[다각형의 외각의 합]]
 *  다각형의 모양에 상관없이 그 외각의 합은 <math>2\pi</math><br><br> 위의 그림에서 a,b,c,d,e가 각 점의 외각의 크기.<br> 이를 다 합하면 <math>2\pi</math>가 됨.<br>
 * 다면체에 대해서도 비슷한 정리가 성립하며, 이를 다면체에 대한 데카르트 정리라고 부름