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2012년 11월 20일 (화) 19:22 판

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양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)

개요

다이로그 함수(dilogarithm) 의 q-analogue
\(\Psi(z)=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n=\exp(\frac{\operatorname{Li}_{2,q}(z)}{q-1})\)
q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus) 에서 오일러의 공식
\(\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\)

바일 대수(Weyl algebra)와 양자 다이로그 항등식

양자 바일 대수와 양자평면 참조
\(\mathbb{C}[q,q^{-1}]\) 위에서 u,v 로 생성되는 대수, \(uv=qvu\) 를 만족시킴
- q-이항계수 (가우스 다항식) 에서 양자평면이라는 이름으로 사용됨
Schützenberger 항등식

\[(u;q)_{\infty}(v;q)_{\infty}=(u+v;q)_{\infty}\]

Faddeev-Volkov 항등식

\[(v;q)_{\infty}(u;q)_{\infty}=(u+v-vu;q)_{\infty}\]

Faddeev-Kashaev 양자 5항 관계식 (5-term relation)

\[(v;q)_{\infty}(u;q)_{\infty}=(u;q)_{\infty}(-vu;q)_{\infty}(v;q)_{\infty}\]

q-integral (Jackson integral)

q-적분 참조

\(0<q<1\)에 대하여 다음과 같이 정의
\(\int_0^a f(x) d_q x = a(1-q)\sum_{k=0}^{\infty}q^k f(aq^k )\)
\(\int_0^{\infty} f(x) d_q x =(1-q)\sum_{k=-\infty}^{\infty}q^k f(aq^k )\)
\(q\to 1\) 이면, \(\int_0^a f(x) d_q x \to \int_0^a f(x) dx \)

양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)

\(\operatorname{Li}_{2,q}(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} d_{q}t \)

\(\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt \)

\(\Psi(z)=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n=\exp(\frac{\operatorname{Li}_{2,q}(z)}{q-1})\)

\(q\to 1\) 일 때의 근사식

\(q=e^{-t}\) 이고 t가 0으로 갈 때,
\(\Psi(x)=(x,e^{-t})_{\infty}\approx(\sqrt{1-x})\exp(-\frac{\operatorname{Li}_{2}(x)}{t})\)

q가 root of unity 일 때의 근사식

[BR1995] section 3

역사

메모

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리뷰논문과 에세이

관련논문

Quantum dilogarithm, Wadim Zudilin, Preprint, Bonn and Moscow (2006)
The hyperbolic volume of knots from quantum dilogarithm R. M. Kashaev, 1996
Richard J. Mcintosh, Some Asymptotic Formulae for q-Shifted Factorials, The Ramanujan Journal
Volume 3, Number 2, 205-214, doi:10.1023/A:1006949508631
[BR1995]Bazhanov, V V, and N Yu Reshetikhin. 1995. “Remarks on the quantum dilogarithm”. Journal of Physics A: Mathematical and General 28 (8) (4월): 2217-2226. doi:10.1088/0305-4470/28/8/014. MR1338071(96k:81087)
A link invariant from quantum dilogarithm Kashaev, R. M., Modern Phys. Lett. A 10 (1995), 1409–1418

Quantum Dilogarithm as a 6j-Symbol R. M. Kashaev, MPLA Volume: 9, Issue: 40(1994) pp. 3757-3768
Quantum Dilogarithm L.D.Fadeev and R.M.Kashaev, Mod. Phys. Lett. A. 9 (1994) p.427–434 MR1264393(95i:11150)

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-==바일 대수(Weyl algebra)==
+==바일 대수(Weyl algebra)와 양자 다이로그 항등식==
 * [[양자 바일 대수와 양자평면]] 참조
 * <math>\mathbb{C}[q,q^{-1}]</math> 위에서 u,v 로 생성되는 대수, <math>uv=qvu</math> 를 만족시킴<br>
 ** [[q-이항계수 (가우스 다항식)]] 에서 양자평면이라는 이름으로 사용됨<br>
-*  성질<br><math>(u;q)_{\infty}(v;q)_{\infty}=(u+v;q)_{\infty}</math><br><math>(v;q)_{\infty}(u;q)_{\infty}=(u+v-vu;q)_{\infty}</math><br><math>(v;q)_{\infty}(u;q)_{\infty}=(u;q)_{\infty}(-vu;q)_{\infty}(v;q)_{\infty}</math><br>
+* Schützenberger 항등식
-*  양자 [[5항 관계식 (5-term relation) |5항 관계식 (5-term relation)]]<br><math>(v;q)_{\infty}(u;q)_{\infty}=(u;q)_{\infty}(-vu;q)_{\infty}(v;q)_{\infty}</math><br>
+:<math>(u;q)_{\infty}(v;q)_{\infty}=(u+v;q)_{\infty}</math>
+* Faddeev-Volkov 항등식
+:<math>(v;q)_{\infty}(u;q)_{\infty}=(u+v-vu;q)_{\infty}</math>
+* Faddeev-Kashaev 양자 [[5항 관계식 (5-term relation) |5항 관계식 (5-term relation)]]
+:<math>(v;q)_{\infty}(u;q)_{\infty}=(u;q)_{\infty}(-vu;q)_{\infty}(v;q)_{\infty}</math><br>