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==<math>q\to 1</math> 일 때의 근사식==
 
==<math>q\to 1</math> 일 때의 근사식==
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* <math>q=e^{-t}</math> 이고 t가 0으로 갈 때, :<math>\Psi(x)=(x,e^{-t})_{\infty}\approx(\sqrt{1-x})\exp(-\frac{\operatorname{Li}_{2}(x)}{t})</math>
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<math>q=e^{-t}</math> 이고 t가 0으로 갈 때,<br><math>\Psi(x)=(x,e^{-t})_{\infty}\approx(\sqrt{1-x})\exp(-\frac{\operatorname{Li}_{2}(x)}{t})</math>
 
  
 
 
 
 

2012년 11월 20일 (화) 19:28 판

이 항목의 수학노트 원문주소

 

 

개요

 

q-integral (Jackson integral)

  • \(0<q<1\)에 대하여 다음과 같이 정의
    \(\int_0^a f(x) d_q x = a(1-q)\sum_{k=0}^{\infty}q^k f(aq^k )\)
    \(\int_0^{\infty} f(x) d_q x =(1-q)\sum_{k=-\infty}^{\infty}q^k f(aq^k )\)
  • \(q\to 1\) 이면, \(\int_0^a f(x) d_q x \to \int_0^a f(x) dx \)


 


양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)

\[\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt \]

  • 잭슨 적분을 이용하여 $\operatorname{Li}_{2,q}(z)$를 다음과 같이 정의

\[\operatorname{Li}_{2,q}(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} d_{q}t \]

  • 양자 다이로그 함수를 다음과 같이 정의함

\[\Psi(z)=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n=\exp(\frac{\operatorname{Li}_{2,q}(z)}{q-1})\]

 

 

\(q\to 1\) 일 때의 근사식

  • \(q=e^{-t}\) 이고 t가 0으로 갈 때, \[\Psi(x)=(x,e^{-t})_{\infty}\approx(\sqrt{1-x})\exp(-\frac{\operatorname{Li}_{2}(x)}{t})\]

 

 

q가 root of unity 일 때의 근사식

  • [BR1995] section 3

 


바일 대수(Weyl algebra)와 양자 다이로그 항등식

\[(u;q)_{\infty}(v;q)_{\infty}=(u+v;q)_{\infty}\]

  • Faddeev-Volkov 항등식

\[(v;q)_{\infty}(u;q)_{\infty}=(u+v-vu;q)_{\infty}\]

\[(v;q)_{\infty}(u;q)_{\infty}=(u;q)_{\infty}(-vu;q)_{\infty}(v;q)_{\infty}\]



 

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