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2010년 1월 17일 (일) 13:06 판

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개요
  • 파이는 원의 둘레와 지름의 비율
    • 모든 원은 서로 닮음이므로, 비율은 상수가 됨.

 

[/pages/2519130/attachments/1333536 circle_diagram1.jpg]

  • 3.141592...

 

 

급수표현
  • 라이프니츠 급수

\(1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}\)

 

 

산술기하평균함수와 파이

 

 

라마누잔의 공식
  • 라마누잔은 1914년에 다음과 같은 공식을 발표
    \(\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}\)
  • 라마누잔과 파이

 

 

 

메모

Around 1910, the Indian mathematician Srinivasa Ramanujan discovered the formula

\(\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}\)

William Gosper used this series in 1985 to compute the first 17 million digits of \(\pi\).
(a) Verify that the series is convergent.
(b) How many correct decimal places of \(\pi\) do you get if you use just the first term of the series? What if you use two terms?

 

너드의 길

라마누잔과 파이

 

삼각함수와 쌍곡함수의 맥클로린 급수

 

 

 

 

지난 글 라이프니츠 급수에 대한 재미있는 현상 에서는 라이프니츠 급수

\(1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}\)

의 5000개의 항을 더했을 때 나타나는 현상을 언급하였다.

\(4\sum_{k=1}^{5000}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.141392653591793238362643395479500114198179\cdots\)

 

3.141392653591793238362643395479500114198179… (위의 급수)

3.141592653589793238462643383279502884197169… (원래 파이값)

 

 

이제 왜 이런 현상이 일어났는가 설명하기 위해 오일러수라는 것을 정의하자. 이 수는 시컨트 함수의 맥클로린 급수의 계수를 통하여 다음과 같이 정의된다.

\(\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!}\)

 

(여기서 참고로, 보통 사인과 코사인 함수의 맥클로린은 학부생 미적분학에서 쉽게 찾아볼 수 있지만, 탄젠트, 코탄젠트, 시컨트와 같은 삼각함수에 대해서는 잘 얘기를 하지 않는다.

\(B_n\)은 베르누이수, \(E_n\)은 오일러수

\(\tan x = x + \frac{x^3}{3} + \frac{2 x^5}{15} + \frac{17 x^7}{315} + \cdots =\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)

\(\cot x = \frac {1} {x} - \frac {x}{3} - \frac {x^3} {45} - \frac {2 x^5} {945} - \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}\)

\(\sec x = 1 + \frac {x^2} {2} + \frac {5 x^4} {24} + \frac {61 x^6} {720} + \cdots=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n} x^{2n}}{(2n)!}\)

이 수학적으로 흥미로운 계수들에 대하여 말할 수 있는 기회를 놓치는 것이라 생각한다.

아니 미적분학을 말하는데 오일러-맥클로린 공식을 얘기하지 않는단 말인가!!)

 

처음 몇 개의 오일러수는 다음과 같다.

\(E_0=1\),\(E_2 = −1\),\(E_4 = 5\),\(E_6 = −61\),\(E_8 = 1,385\),\(E_{10} = −50,521\),\(E_{12} = 2,702,765\),\(E_{14} = −199,360,981\),\(E_{16} = 19,391,512,145\),\(E_{18} = −2,404,879,675,441\)

 

이제 다시 본론으로 돌아가서, 라이프니츠 급수의 오차항에 대해 알아보자. 오일러수를 사용하면, 이 급수와 수렴값의 차이를 다음과 같이 표현할 수 있다.

\(\pi-4\sum_{k=1}^{N/2}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }\sim \sum_{m=0}^{\infty}\frac{2E_{2m}}{N^{2m+1}}=\frac{2}{N}-\frac{2}{N^3}+\frac{10}{N^5}-\frac{122}{N^7}+\frac{2770}{N^9}-\frac{101042}{N^{11}}+\cdots\)

 

수학적으로 엄밀하게 말하자면 오른쪽의 급수는 수렴하지 않고, 다음과 같은 정도로 그 크기를 표현할 수 있다.

\(4\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1 }=(-1)^n\sum_{k=0}^{M}\frac{2E_{2k}}{(2n)^{2k+1}}+R(M)\)

여기서 \(|R(M)| \leq \frac{2|E_{2k}|}{(2n)^{2M+1}}\)

 

따라서 \(N=10^{l}\) 일때,  (4배한) 라이프니츠급수와 파이의 자릿수는 소수점 \(l\)번째(또는 그 앞) 자리에서 처음 다르게 나타난다.

오차항에 대해서는 \(2E_{2(M+1)}\)과 \(10^{2l}\) 의 자릿수가 엇비슷해지는 \(M\)을 찾았을때 \(k=M\) 까지 오차항을 계산하면 파이의 자릿수를 어느 정도 얻을 수 있겠다. 

라이프니츠 급수로도 오일러수를 통한 보정으로 파이의 자릿수를 소수점아래 \((2M+1)l\) 자리까지는 얻을 수 있다는 얘기다.

 

이렇게 하고 끝을 맺으면, 뭔가 얻은거 같은 느낌이 없을 가능성이 높으므로 쉬운 예를 통해서 이해해보자.

 

예)

\(N=10^2\) 인 경우, \(2E_6\)가 네자리 수이므로, \(M=2\) 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 10자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다.

 

\(4\sum_{k=1}^{50}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.12159465259101047851\cdots\)

 

0.12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

3.14159265358979323846… (원래 파이값)

3.12159465259101047851… (위의 급수)

 

자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수인 2, -2, 10, -122가 나타나는 것을 볼 수 있다.

 

예)

\(N=10^3\) 인 경우, \(2E_{10}\)이 여섯자리 수이므로, \(M=4\) 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 27자리 정도의 전개정도는 얻을 수 있다.

 

\(4\sum_{k=1}^{500}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.13959265558978323858464061338053947906585258315983\cdots\)

 

0.12'34567890123456789012345'6789012345678901234567890123456789

3.1'415926535897932384626433'8327950288419716939937510582

3.13959265558978323858464061338053947906585258315983

 

자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 오일러수 2, -2, 10, -122, 2770가 나타난다.

 

 

예)

\(N=10^4\) 인 경우, \(E_{12}\)가 일곱자리 수이므로, \(M=5\) 로 두면 위의 말대로, 라이프니츠 급수를 통하여 파이의 소수점 44자리 정도의 전개를 얻을 수 있다.

 

 

\(4\sum_{k=1}^{5000}\frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=3.141392653591793238362643395479500114198179\cdots\)

 

0.12345678901234567890123456789012345678901234567890123456789

3.141'59265358'979323846264338327950288419716939937510582

3.14139265359'1793238362643395479500'1141981798188345532196965187625458916006334194979629989247706731687

 

자릿수가 다른 곳의 차이를 보면, 2, -2, 10, -122, 2770, -101042가 나타난다. 

 

이제 이에 대한 좀더 학술적인 안내를 받고 싶다면, 다음 글을 참고하시라.

 

 

 

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