"원주율(파이,π)"의 두 판 사이의 차이

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<h5 style="margin: 0px; line-height: 3.428em; color: rgb(34, 61, 103); font-family: 'malgun gothic',dotum,gulim,sans-serif; font-size: 1.166em; background-position: 0px 100%;">이 항목의 스프링노트 원문주소</h5>
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==개요==
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* [[원주율(파이,π)]]
 
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<h5>개요</h5>
 
  
 
* 원주율(파이,π)는 원의 둘레와 지름의 비율
 
* 원주율(파이,π)는 원의 둘레와 지름의 비율
 
* 모든 원은 서로 닮음이므로, 이 비율은 상수이다
 
* 모든 원은 서로 닮음이므로, 이 비율은 상수이다
  
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* 수학의 수많은 곳에서 등장한다
 
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<h5>아르키메데스의 부등식</h5>
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==아르키메데스의 부등식==
  
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* 223/71 < π < 22/7
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* <math>223/71 < \pi < 22/7</math>
  
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<h5>비에타의 공식</h5>
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==비에타의 공식==
  
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* 1593년 François Viète에 의해 발견된 [[비에타의 공식]]
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* 1593년 François Viète에 의해 발견된 [[비에타의 공식]]
 
*  원주율의 무한곱 표현<br><math>\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}}{2}\cdots</math><br>
 
*  원주율의 무한곱 표현<br><math>\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}}{2}\cdots</math><br>
  
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<h5>급수표현</h5>
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==급수표현==
  
 
* 1680년경에 발견된 [[그레고리-라이프니츠 급수|라이프니츠 급수]]
 
* 1680년경에 발견된 [[그레고리-라이프니츠 급수|라이프니츠 급수]]
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<math>1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}</math>
 
<math>1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}</math>
  
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<h5>마친의 공식</h5>
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==마친의 공식==
  
 
*  1706년 발견된 [[마친(Machin)의 공식]]<br><math>\frac{\pi}{4}=4\alpha-\beta=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}</math><br>
 
*  1706년 발견된 [[마친(Machin)의 공식]]<br><math>\frac{\pi}{4}=4\alpha-\beta=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}</math><br>
  
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<h5>오일러와 파이</h5>
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==오일러와 파이==
  
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* [[오일러의 공식 e^{iπ}+1=0]]<br><math>e^{i \pi} +1 = 0</math><br>
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* [[오일러의 공식]]<br><math>e^{i \pi} +1 = 0</math><br>
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* [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)|오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]<br><math>\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}=\frac{(2\pi)^2}{24}</math><br>
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* [[Ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]:<math>\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}=\frac{(2\pi)^2}{24}</math>
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*  더 일반적으로 [[정수에서의 리만제타함수의 값]]은 다음과 같이 주어진다<br><math>\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1</math>여기서 <math>B_{2n}</math>은 [[베르누이 수|베르누이수]].<br>
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*  더 일반적으로 [[정수에서의 리만제타함수의 값]]은 다음과 같이 주어진다<br><math>\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1</math>여기서 <math>B_{2n}</math>은 [[베르누이 수|베르누이수]].<br>
  
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<h5>산술기하평균함수와 파이</h5>
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==산술기하평균함수와 파이==
  
 
* [[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산|산술기하평균함수(AGM)와 파이)]][[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산|값의 계산]]
 
* [[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산|산술기하평균함수(AGM)와 파이)]][[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산|값의 계산]]
  
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<h5>라마누잔의 공식</h5>
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==라마누잔의 공식==
  
 
*  라마누잔은 1914년에 다음과 같은 공식을 발표<br><math>\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}</math><br>
 
*  라마누잔은 1914년에 다음과 같은 공식을 발표<br><math>\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}</math><br>
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* [[라마누잔과 파이]] 항목을 참조
 
* [[라마누잔과 파이]] 항목을 참조
  
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<h5>BBP 공식</h5>
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==BBP 공식==
  
 
<math>\pi = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6} \right)</math>
 
<math>\pi = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6} \right)</math>
  
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* [[원주율의 BBP 공식|BBP 공식]] 항목 참조
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* [[원주율의 BBP 공식|BBP 공식]] 항목 참조
  
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<h5>complex multiplication과 파이</h5>
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==complex multiplication과 파이==
  
 
*  타원곡선의 [[complex multiplication]] 이론과 [[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)|타원 모듈라 j-함수 (j-invariant)]]는 다음과 같은 공식들을 이해할 수 있게 해준다<br><math>\large e^{\pi \sqrt{163}}=262537412640768743.9999999999992500725\cdots\approx 262537412640768744</math><br><math>e^{\pi \sqrt{43}} = 884736743.9997774660349066619374620785\approx 884736744</math><br><math>e^{\pi \sqrt{67}} = 147197952743.9999986624542245068292613\approx 147197952744</math><br>
 
*  타원곡선의 [[complex multiplication]] 이론과 [[타원 모듈라 j-함수 (elliptic modular function, j-invariant)|타원 모듈라 j-함수 (j-invariant)]]는 다음과 같은 공식들을 이해할 수 있게 해준다<br><math>\large e^{\pi \sqrt{163}}=262537412640768743.9999999999992500725\cdots\approx 262537412640768744</math><br><math>e^{\pi \sqrt{43}} = 884736743.9997774660349066619374620785\approx 884736744</math><br><math>e^{\pi \sqrt{67}} = 147197952743.9999986624542245068292613\approx 147197952744</math><br>
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* [[숫자 163]], [[숫자 67]] 항목과 [[가우스의 class number one 문제]]
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* [[숫자 163]], [[숫자 67]] 항목과 [[가우스의 class number one 문제]]
  
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<h5>파이가 아니라 2파이다?</h5>
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==파이가 아니라 2파이다?==
  
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* 수학의 많은 공식에서는 <math>\pi</math>가 아닌 <math>2\pi</math>가 자연스럽게 등장
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* 수학의 많은 공식에서는 <math>\pi</math>가 아닌 <math>2\pi</math>가 자연스럽게 등장
 
* [[파이가 아니라 2파이다?]]
 
* [[파이가 아니라 2파이다?]]
  
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<h5>메모</h5>
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==메모==
  
 
* http://navercast.naver.com/science/math/1094
 
* http://navercast.naver.com/science/math/1094
 
* http://navercast.naver.com/science/math/204
 
* http://navercast.naver.com/science/math/204
  
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<h5>관련된 항목들</h5>
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==관련된 항목들==
  
 
* [[너드의 길]]
 
* [[너드의 길]]
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* [[오일러의 공식 e^{iπ}+1=0]]
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* [[오일러의 공식]]
 
* [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)|오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]
 
* [[ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)|오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]
 
* [[정수에서의 리만제타함수의 값]]
 
* [[정수에서의 리만제타함수의 값]]
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<h5 style="margin: 0px; line-height: 2em;">관련링크와 웹페이지</h5>
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==관련링크와 웹페이지==
  
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* [http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/picomputation/PiComputationBib/Links/PiComputationBib_lnk_2.html Bibliography for Computation of Pi]
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* [http://math.fullerton.edu/mathews/n2003/picomputation/PiComputationBib/Links/PiComputationBib_lnk_ 2.html Bibliography for Computation of Pi]
  
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<h5>사전 형태의 자료</h5>
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==사전 형태의 자료==
  
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* [http://ko.wikipedia.org/wiki/%EC%9B%90%EC%A3%BC%EC%9C%A8 http://ko.wikipedia.org/wiki/원주율]
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/원주율
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
* http://en.wikipedia.org/wiki/
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
 
* http://www.wolframalpha.com/input/?i=
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** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
 
** http://www.research.att.com/~njas/sequences/?q=
  
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<h5>관련논문</h5>
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==관련논문==
  
 
* [http://crd.lbl.gov/%7Edhbailey/dhbpapers/pi-quest.pdf The Quest for Pi.]<br>
 
* [http://crd.lbl.gov/%7Edhbailey/dhbpapers/pi-quest.pdf The Quest for Pi.]<br>
 
** David H. Bailey, Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein and Simon Plouffe.
 
** David H. Bailey, Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein and Simon Plouffe.
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** June 25, 1996. Ref: Mathematical Intelligencer, vol. 19, no. 1 (Jan. 1997), pg. 50–57
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** June 25, 1996. Ref: Mathematical Intelligencer, vol. 19, no. 1 (Jan. 1997), pg. 50\[Dash]57
 
* [http://users.cs.dal.ca/%7Ejborwein/pi-culture.pdf The Life of Pi: From Archimedes to ENIAC and Beyond (2004).]<br>
 
* [http://users.cs.dal.ca/%7Ejborwein/pi-culture.pdf The Life of Pi: From Archimedes to ENIAC and Beyond (2004).]<br>
 
** Borwein, Jonathan
 
** Borwein, Jonathan
 
* http://www.jstor.org/stable/3029832
 
* http://www.jstor.org/stable/3029832
  
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<h5>관련도서</h5>
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==관련도서==
  
 
* [http://www.aladdin.co.kr/shop/wproduct.aspx?isbn=8981727937 수학도깨비에게 원주율 배우기]<br>
 
* [http://www.aladdin.co.kr/shop/wproduct.aspx?isbn=8981727937 수학도깨비에게 원주율 배우기]<br>
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** 최행진, 교우사, 2009-03-05
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** 최행진, 교우사, 2009-03-05
 
* [http://www.yes24.com/24/goods/340156 파이의 즐거음]<br>
 
* [http://www.yes24.com/24/goods/340156 파이의 즐거음]<br>
 
** 데이비드 블래트너, 2003
 
** 데이비드 블래트너, 2003
 
* [http://books.google.com/books?id=QwwcmweJCDQC Pi-unleashed]<br>
 
* [http://books.google.com/books?id=QwwcmweJCDQC Pi-unleashed]<br>
 
** Jörg Arndt, Christoph Haenel, C. Lischka, D. Lischka, 2000
 
** Jörg Arndt, Christoph Haenel, C. Lischka, D. Lischka, 2000
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* [http://www.amazon.com/PI-AGM-Analytic-Computational-Complexity/dp/047131515X Pi and the AGM]<br>
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* [http://www.amazon.com/PI-AGM-Analytic-Computational-Complexity/dp/047131515X Pi and the AGM]<br>
 
** Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein, 1998
 
** Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein, 1998
  
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** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
** http://book.daum.net/search/contentSearch.do?query=
 
*  도서검색<br>
 
*  도서검색<br>
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** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss_gw?url=search-alias%3Dstripbooks&field-keywords=
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** http://www.amazon.com/s/ref=nb_ss _gw?url=search-alias %3 Dstripbooks&field-keywords=
 
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
 
** http://book.daum.net/search/mainSearch.do?query=
  
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<h5>관련기사</h5>
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==관련기사==
  
 
*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
 
*  네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)<br>
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** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%EC%9B%90%EC%A3%BC%EC%9C%A8 http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=원주율]
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=원주율
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** [http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=%ED%8C%8C%EC%9D%B4%EB%8D%B0%EC%9D%B4 http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=파이데이]
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=파이데이
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
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** http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=
 
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<h5>블로그</h5>
 
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* 구글 블로그 검색 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=
 
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* 트렌비 블로그 검색 http://www.trenb.com/search.qst?q=
 

2012년 9월 13일 (목) 17:00 판

개요

  • 원주율(파이,π)는 원의 둘레와 지름의 비율
  • 모든 원은 서로 닮음이므로, 이 비율은 상수이다


[/pages/2519130/attachments/1333536 circle_diagram1.jpg]

  • \(\pi=3.141592653589793238462643383279502884197169399375\cdots\)
  • 수학의 수많은 곳에서 등장한다



아르키메데스의 부등식

  • \(223/71 < \pi < 22/7\)



비에타의 공식

  • 1593년 François Viète에 의해 발견된 비에타의 공식
  • 원주율의 무한곱 표현
    \(\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}}{2}\cdots\)



급수표현

\(1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}\)



마친의 공식



오일러와 파이



산술기하평균함수와 파이



라마누잔의 공식

  • 라마누잔은 1914년에 다음과 같은 공식을 발표
    \(\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}\)
  • 윌리엄 고스퍼는 1985년에 파이값의 천7백만자리를 계산하기 위해 이 공식을 사용
  • 비슷한 형태로 다음과 같은 공식
    \(\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}\!\)
  • 라마누잔과 파이 항목을 참조



BBP 공식

\(\pi = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6} \right)\)



complex multiplication과 파이



파이가 아니라 2파이다?



메모


 

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관련된 항목들

 

 

관련링크와 웹페이지


사전 형태의 자료



관련논문



관련도서



관련기사

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