"양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)"의 두 판 사이의 차이
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxTGw0Vy1Ma2R0Ujg/edit | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxTGw0Vy1Ma2R0Ujg/edit | ||
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* [http://dx.doi.org/10.1142/S0217732394000447 Quantum Dilogarithm] L.D.<em style="line-height: 2em;">Fadeev</em> and R.M.<em style="line-height: 2em;">Kashaev</em>, Mod. Phys. Lett. A. 9 (1994) p.427–434 [http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&s4=&s5=&s6=&s7=Quantum%20Dilogarithm&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=52&mx-pid=1264393 MR1264393(95i:11150)]<br> | * [http://dx.doi.org/10.1142/S0217732394000447 Quantum Dilogarithm] L.D.<em style="line-height: 2em;">Fadeev</em> and R.M.<em style="line-height: 2em;">Kashaev</em>, Mod. Phys. Lett. A. 9 (1994) p.427–434 [http://www.ams.org/mathscinet/search/publdoc.html?arg3=&co4=AND&co5=AND&co6=AND&co7=AND&dr=all&pg4=AUCN&pg5=TI&pg6=PC&pg7=ALLF&pg8=ET&s4=&s5=&s6=&s7=Quantum%20Dilogarithm&s8=All&vfpref=html&yearRangeFirst=&yearRangeSecond=&yrop=eq&r=52&mx-pid=1264393 MR1264393(95i:11150)]<br> | ||
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2013년 2월 27일 (수) 15:52 판
개요
- 다이로그 함수(dilogarithm) 의 q-analogue
\[\Psi(z)=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\]
- q-초기하급수(q-hypergeometric series)와 양자미적분학(q-calculus) 에서 오일러의 공식에 등장함
\[\prod_{n=0}^{\infty}(1+zq^n)=1+\sum_{n\geq 1}\frac{q^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n\]
q-integral (Jackson integral)
- q-적분 참조
- \(0<q<1\)에 대하여 다음과 같이 정의
\[\int_0^a f(x) d_q x = a(1-q)\sum_{k=0}^{\infty}q^k f(aq^k )\]
- \(q\to 1\) 이면,
\[\int_0^a f(x) d_q x \to \int_0^a f(x) dx \]
양자 다이로그 함수(quantum dilogarithm)
\[\operatorname{Li}_2(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} dt \]
- 잭슨 적분을 이용하여 $\operatorname{Li}_{2,q}(z)$를 다음과 같이 정의
\[\operatorname{Li}_{2,q}(z) = -\int_0^z{{\ln (1-t)}\over t} d_{q}t=-z(1-q)\sum_{n=0}^{\infty}q^n \frac{\log (1-zq^n)}{zq^n}=(q-1)\sum_{n=0}^{\infty}\log (1-zq^n) \]
- 양자 다이로그 함수를 다음과 같이 정의함
\[\Psi(z) :=(z;q)_{\infty}=\prod_{n=0}^{\infty}(1-zq^n)=\sum_{n\geq 0}\frac{(-1)^nq^{n(n-1)/2}}{(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^n)} z^n=\exp(\frac{\operatorname{Li}_{2,q}(z)}{q-1})\]
\(q\to 1\) 일 때의 근사식
- \(q=e^{-t}\) 이고 t가 0으로 갈 때, \[\Psi(x)=(x,e^{-t})_{\infty}\approx(\sqrt{1-x})\exp(-\frac{\operatorname{Li}_{2}(x)}{t})\]
q가 root of unity 일 때의 근사식
- [BR1995] section 3
바일 대수(Weyl algebra)와 양자 다이로그 항등식
- 양자 바일 대수와 양자평면 참조
- \(\mathbb{C}[q,q^{-1}]\) 위에서 u,v 로 생성되는 대수, \(uv=qvu\) 를 만족시킴
- q-이항계수 (가우스 다항식) 에서 양자평면이라는 이름으로 사용됨
- q-이항계수 (가우스 다항식) 에서 양자평면이라는 이름으로 사용됨
- Schützenberger 항등식
\[(u;q)_{\infty}(v;q)_{\infty}=(u+v;q)_{\infty}\]
- Faddeev-Volkov 항등식
\[(v;q)_{\infty}(u;q)_{\infty}=(u+v-vu;q)_{\infty}\]
- Faddeev-Kashaev 양자 5항 관계식 (5-term relation)
\[(v;q)_{\infty}(u;q)_{\infty}=(u;q)_{\infty}(-vu;q)_{\infty}(v;q)_{\infty}\]
역사
메모
- Notes on Construction of the Knot Invariant from Quantum Dilogarithm Function
- http://ncatlab.org/nlab/show/quantum+dilogarithm
- http://www.birs.ca/events/2010/5-day-workshops/10w5069/videos/watch/201009161744-Keller.mp4
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
사전 형태의 자료
리뷰논문과 에세이
관련논문
- Quantum dilogarithm, Wadim Zudilin, Preprint, Bonn and Moscow (2006)
- The hyperbolic volume of knots from quantum dilogarithm R. M. Kashaev, 1996
- Richard J. Mcintosh, Some Asymptotic Formulae for q-Shifted Factorials, The Ramanujan Journal
Volume 3, Number 2, 205-214, doi:10.1023/A:1006949508631 - [BR1995]Bazhanov, V V, and N Yu Reshetikhin. 1995. “Remarks on the quantum dilogarithm”. Journal of Physics A: Mathematical and General 28 (8) (4월): 2217-2226. doi:10.1088/0305-4470/28/8/014. MR1338071(96k:81087)
- A link invariant from quantum dilogarithm Kashaev, R. M., Modern Phys. Lett. A 10 (1995), 1409–1418
- Quantum Dilogarithm as a 6j-Symbol R. M. Kashaev, MPLA Volume: 9, Issue: 40(1994) pp. 3757-3768
- Quantum Dilogarithm L.D.Fadeev and R.M.Kashaev, Mod. Phys. Lett. A. 9 (1994) p.427–434 MR1264393(95i:11150)