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* 다음과 같은 (물리적?) 해석이 가능 | * 다음과 같은 (물리적?) 해석이 가능 | ||
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리만 제타함수가 만족시키는 다음 함수방정식을 이용한다. | 리만 제타함수가 만족시키는 다음 함수방정식을 이용한다. | ||
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| − | <math>\zeta(s)=2(2\pi)^{s-1}\Gamma(1-s)\sin(\frac{\pi s}{2})\zeta(1-s)</math> | + | :<math>\zeta(s)=2(2\pi)^{s-1}\Gamma(1-s)\sin(\frac{\pi s}{2})\zeta(1-s)</math> |
여기에 <math>s=-1</math> 을 대입하면, 다음을 얻는다. | 여기에 <math>s=-1</math> 을 대입하면, 다음을 얻는다. | ||
| − | <math>\zeta(-1)=2(2\pi)^{-2}\Gamma(2)\sin(-\frac{\pi}{2})\zeta(2)=\frac{2}{4\pi^2}(-1)\frac{\pi^2}{6}=-\frac{1}{12}</math>. ■ | + | :<math>\zeta(-1)=2(2\pi)^{-2}\Gamma(2)\sin(-\frac{\pi}{2})\zeta(2)=\frac{2}{4\pi^2}(-1)\frac{\pi^2}{6}=-\frac{1}{12}</math>. ■ |
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보조정리 | 보조정리 | ||
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(증명)<br> 테일러정리에 의하면, | (증명)<br> 테일러정리에 의하면, | ||
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본래는 양변에 x=1을 넣는 것이 금지되어 있으나, 위에서 물리학이라고 했으므로 괜찮음.<br> 그러므로, | 본래는 양변에 x=1을 넣는 것이 금지되어 있으나, 위에서 물리학이라고 했으므로 괜찮음.<br> 그러므로, | ||
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따라서, | 따라서, | ||
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%C2%B7_%C2%B7_%C2%B7 | * http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%C2%B7_%C2%B7_%C2%B7 | ||
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* https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxSEdnNm9Ddy1seUk/edit?pli=1 | * https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxSEdnNm9Ddy1seUk/edit?pli=1 | ||
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2013년 3월 21일 (목) 01:56 판
개요
- 리만제타함수 함수의 -1에서의 값
\[\zeta(-1)= -\frac{1}{12}\]
- 다음과 같은 (물리적?) 해석이 가능
\[\sum_{n=1}^{\infty} n =1 + 2 + 3 + 4 + 5 + \cdots = -\frac{1}{12}\]
증명
리만 제타함수가 만족시키는 다음 함수방정식을 이용한다.
\[\pi^{-s/2}\ \Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\ \zeta(s)=\pi^{-(1-s)/2}\ \Gamma\left(\frac{1-s}{2}\right)\ \zeta(1-s)\]
\[\zeta(s)=2(2\pi)^{s-1}\Gamma(1-s)\sin(\frac{\pi s}{2})\zeta(1-s)\]
여기에 \(s=-1\) 을 대입하면, 다음을 얻는다.
\[\zeta(-1)=2(2\pi)^{-2}\Gamma(2)\sin(-\frac{\pi}{2})\zeta(2)=\frac{2}{4\pi^2}(-1)\frac{\pi^2}{6}=-\frac{1}{12}\]. ■
물리학적(?) 증명
보조정리
\[1-2+3 -4 +5-6+\cdots = \frac{1}{4}\]
(증명)
테일러정리에 의하면,
\[x-2 x^2+3 x^3-4 x^4+\cdots = \frac{x}{(1+x)^2}\]
본래는 양변에 x=1을 넣는 것이 금지되어 있으나, 위에서 물리학이라고 했으므로 괜찮음.
그러므로,
\[S=1+2+3+4+\cdots\]
\[2S=2+4+6+8+\cdots\]
\[4S=2(2+4+6+8+\cdots)\]
그러므로,
\[1-2+3-4+5-6+\cdots+4S=1+2+3+4+5+6+\cdots = S\]
따라서,
\[-3S=1-2+3-4+5-6+\cdots\]
\[\sum_{n=1}^{\infty}n=1+2+3+4+\cdots = \frac{-1}{12}\]
조금만 수정하면, 제대로 된 증명이 되도록 할 수 있음.
관련된 항목들
사전 형태의 자료
- http://ko.wikipedia.org/wiki/
- http://en.wikipedia.org/wiki/1_%2B_2_%2B_3_%2B_4_%2B_%C2%B7_%C2%B7_%C2%B7
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- Zeta-function regularization The Reference Frame, 2007-9-18