디리클레 L-함수와 수학의 상수들

디리클레 베타함수는 복소 이차 수체 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-1})\)의 정수론을 해석적으로 이해하는데 있어 중요한 역할을 하는 함수로 다음과 같이 정의된다.

\(\beta(s) =L_{-4}(s)= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n} {(2n+1)^s} =\frac{1}{1^s} - \frac{1}{3^s} + \frac{1}{5^s} - \frac{1}{7^s} + \cdots \)

리만제타함수와 비슷한 종류의 함수로, 수체 \(\mathbb{Q}(\sqrt{-1})\)에 대한 데데킨트 제타함수 의 인자로 등장하며, 디리클레 L-함수의 한 예이기도 하다.

정수에서의 리만제타함수의 값을 구하는 문제가 수학적으로 흥미로운만큼 같은 질문을 디리클레 베타함수에 대해 할 수 있을 것이다.

이 문제에 대해 고민하게 되면, 여러 중요한 수학의 상수들(mathematical constants)과 만날 수 있으므로, 소개를 해볼까 한다.

\(s=1\)인 경우의 값은 일반적으로 디리클레 class number 공식 을 사용하여 구할 수 있는데, 라이프니츠 급수

\(\beta(1)=1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}=0.785398163\cdots\)

를 얻게 된다. 원주율(파이,π) 를 만나게 된다.

\(s=2\)인 경우는

\(\beta(2) = \frac{1}{1^2} - \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \cdots \!=0.915965594\cdots\)

를 얻게 되는데, 이를 카탈란 상수 라 부른다. 초등함수의 정적분의 값들을 표현하는데 종종 등장하는 상수이며 흥미로운 대상이다.

\(s=3\)인 경우는

\(\beta(3)\;=\;\frac{\pi^3}{32}\) 를 얻게 되는데, 일반적으로 s 가 홀수인 경우,

\(\beta(2k+1)={{{({-1})^k}{E_{2k}}{\pi^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k!)}}\) (\(k\geq 0 \) 인 정수) 로 주어진다. 여기서 \(E_n\)은 오일러수.

한편, 이 함수의 \(s=1\)인 경우의 도함수의 값에 대해서도 생각해볼 수 있는데,

\(\beta'(1)=\frac{\pi}{4}(\gamma+\ln 2\pi)-\frac{\pi}{2}\ln(\frac{\Gamma(1/4)}{\Gamma(3/4)})\)

를 얻을 수 있으며 증명은 디리클레 베타함수 항목에 적어두었다. 여기서는 오일러상수, 감마, \(\gamma=0.577215664901532860606512090\cdots\) 를 만나게 된다.

한가지 재미있는 사실은 정적분문제

$$\int_{\pi/4}^{\pi/2} \ln \ln \tan x\, dx=\frac{\pi}{2}\ln \left(\frac{\Gamma(\frac{3}{4})}{\Gamma(\frac{1}{4})}\sqrt{2\pi}\right)$$

를 해결하기 위해서는 위의 결과를 알아야 한다는 것인데, 궁금한 사람들은 재미있는 정적분 Integrals, an Introduction to Analytic Number Theory ,(Ilan Vardi, The American Mathematical Monthly, Vol. 95, No. 4 (Apr., 1988), pp. 308-315) 를 참고하면 되겠다.

정리를 하면, 디리클레 베타함수의 정수에서의 값을 구하는 과정에서 다음과 같은 상수들을 만났다.

원주율(파이,π)

카탈란 상수

오일러상수, 감마