"갈루아 이론"의 두 판 사이의 차이
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==개요== | ==개요== | ||
| − | * [[군론(group theory)|군론]]을 | + | * [[군론(group theory)|군론]]을 통한 [[체론(field theory)]]의 이해 |
* 체확장과 갈루아군의 개념이 필요 | * 체확장과 갈루아군의 개념이 필요 | ||
* 대수방정식의 해가 가지고 있는 대칭성을 군을 통해 이해하는데서 탄생 | * 대수방정식의 해가 가지고 있는 대칭성을 군을 통해 이해하는데서 탄생 | ||
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* 갈루아이론을 통하여 일반적인 5차이상의 방정식의 해는 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현할 수 없음을 증명할 수 있으며, 왜 그것이 불가능한지를 설명할 수 있음 | * 갈루아이론을 통하여 일반적인 5차이상의 방정식의 해는 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현할 수 없음을 증명할 수 있으며, 왜 그것이 불가능한지를 설명할 수 있음 | ||
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==근의 공식[[2차 방정식의 근의 공식|2차 방정식의 근의 공식]]== | ==근의 공식[[2차 방정식의 근의 공식|2차 방정식의 근의 공식]]== | ||
| − | * [[2차 방정식의 근의 공식]] | + | * [[2차 방정식의 근의 공식]] |
| − | * <math>ax^2+bx+c=0</math>:<math>x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math | + | * <math>ax^2+bx+c=0</math>:<math>x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}</math> |
| − | * <math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math | + | * <math>ax^3+bx^2+cx+d=0</math> |
| − | * [[3차 방정식의 근의 공식|3차, 4차 방정식의 근의 공식]] | + | * [[3차 방정식의 근의 공식|3차, 4차 방정식의 근의 공식]] |
| − | * <math>ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0</math | + | * <math>ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0</math> |
| − | * <math>a,b,c,d,e,f</math | + | * <math>a,b,c,d,e,f</math> |
| − | * <math>\sqrt{},\sqrt[3]{},\sqrt[4]{}, \sqrt[5]{}, \cdots</math | + | * <math>\sqrt{},\sqrt[3]{},\sqrt[4]{}, \sqrt[5]{}, \cdots</math> |
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==풀수 있는 방정식== | ==풀수 있는 방정식== | ||
| − | * [[정오각형]] 항목 중 [[3002548#toc 4|꼭지점의 평면좌표]]에는 어떻게 방정식 <math>z^4+z^3+z^2+z^1+1=0</math>을 풀 수 있는지가 설명되어 있음 | + | * [[정오각형]] 항목 중 [[3002548#toc 4|꼭지점의 평면좌표]]에는 어떻게 방정식 <math>z^4+z^3+z^2+z^1+1=0</math>을 풀 수 있는지가 설명되어 있음 |
| − | * [[가우스와 정17각형의 작도]] 항목에는 왜 정17각형이 자와 컴파스로 작도가능한지에 대한 설명이 있음. | + | * [[가우스와 정17각형의 작도]] 항목에는 왜 정17각형이 자와 컴파스로 작도가능한지에 대한 설명이 있음. |
** 이를 위하여 <math>z^{16}+z^{15}+\cdots+z+1=0</math>의 풀이를 반복적인 2차방정식의 풀이로 환원할 수 있음을 보임. | ** 이를 위하여 <math>z^{16}+z^{15}+\cdots+z+1=0</math>의 풀이를 반복적인 2차방정식의 풀이로 환원할 수 있음을 보임. | ||
** 16차 방정식을 2차방정식 네번 푸는 문제로 바꾸는 것. | ** 16차 방정식을 2차방정식 네번 푸는 문제로 바꾸는 것. | ||
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==근의 치환== | ==근의 치환== | ||
| − | * 일반적으로 [[대칭군 (symmetric group)]]의 부분군을 치환군이라 부른다 | + | * 일반적으로 [[대칭군 (symmetric group)]]의 부분군을 치환군이라 부른다 |
| − | * [[방정식과 대칭성 : 치환군]] | + | * [[방정식과 대칭성 : 치환군]] |
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==다항식과 갈루아체확장== | ==다항식과 갈루아체확장== | ||
| − | * (기약)다항식으로부터 얻어지는 해를 모두 추가하여 주어진 체를 확장시킬 수 있음 | + | * (기약)다항식으로부터 얻어지는 해를 모두 추가하여 주어진 체를 확장시킬 수 있음 |
| − | * 유리수체 <math>\mathbb{Q}</math>에서 정의된 다항식 <math>x^3-2=0</math | + | * 유리수체 <math>\mathbb{Q}</math>에서 정의된 다항식 <math>x^3-2=0</math> |
| − | * 해는 <math>\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}</math> 세 개가 존재 | + | * 해는 <math>\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}</math> 세 개가 존재 |
| − | * 유리수체 <math>\mathbb{Q}</math>에 <math>\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}</math>를 집어넣으면 유리수체의 확장 <math>K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})</math> 를 얻음 | + | * 유리수체 <math>\mathbb{Q}</math>에 <math>\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}</math>를 집어넣으면 유리수체의 확장 <math>K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})</math> 를 얻음 |
| − | * 이 때, 체 <math>K</math>는 유리수체 <math>\mathbb{Q}</math>위에 정의된 벡터공간이 되며, 벡터공간으로서의 차원은 <math>[K : \mathbb{Q}]=6</math>이 됨 | + | * 이 때, 체 <math>K</math>는 유리수체 <math>\mathbb{Q}</math>위에 정의된 벡터공간이 되며, 벡터공간으로서의 차원은 <math>[K : \mathbb{Q}]=6</math>이 됨 |
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==체확장과 갈루아군== | ==체확장과 갈루아군== | ||
| − | * 체 <math>F</math>와 그 체확장 <math>K</math>에 대하여 군 <math>\text{Gal}(K/F)</math>을 정의할 수 있음 | + | * 체 <math>F</math>와 그 체확장 <math>K</math>에 대하여 군 <math>\text{Gal}(K/F)</math>을 정의할 수 있음 |
| − | ** <math>\text{Gal}(K/F)</math>는 체<math>K</math>의 자기동형사상 중에서 체<math>F</math>를 변화시키지 않는 원소들의 모임 | + | ** <math>\text{Gal}(K/F)</math>는 체<math>K</math>의 자기동형사상 중에서 체<math>F</math>를 변화시키지 않는 원소들의 모임 |
| − | ** 자기동형사상이란 <math>K</math>에서 <math>K</math>에서 가는 일대일대응으로 사칙연산을 보존하는 함수 | + | ** 자기동형사상이란 <math>K</math>에서 <math>K</math>에서 가는 일대일대응으로 사칙연산을 보존하는 함수 |
| − | * 예) | + | * 예) 복소수체 <math>\mathbb{C}</math> 는 실수체 <math>\mathbb{R}</math>의 체확장 |
| − | ** 방정식 <math>x^2+1=0</math> 의 해<math>\{i,-i\}</math>를 실수체 <math>\mathbb{R}</math>에 추가하여 실수체의 확장인 복소수체 <math>\mathbb{C}</math> 를 만듦 | + | ** 방정식 <math>x^2+1=0</math> 의 해<math>\{i,-i\}</math>를 실수체 <math>\mathbb{R}</math>에 추가하여 실수체의 확장인 복소수체 <math>\mathbb{C}</math> 를 만듦 |
| − | ** <math>\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma\}</math> 는 두개의 원소로 구성되어 있으며, | + | ** <math>\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma\}</math> 는 두개의 원소로 구성되어 있으며, 복소수 <math>z</math>에 대하여 <math>\operatorname{id}(z)=z</math>과 <math>\sigma(z)=\bar{z}</math>로 정의됨 |
| − | ** <math>\sigma(z)=\bar{z}</math> 이므로 실수체 <math>\mathbb{R}</math>의 원소를 모두 보존함을 알 수 있다 | + | ** <math>\sigma(z)=\bar{z}</math> 이므로 실수체 <math>\mathbb{R}</math>의 원소를 모두 보존함을 알 수 있다 |
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==방정식의 해가 가진 대칭성== | ==방정식의 해가 가진 대칭성== | ||
| − | * <math>\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma\}</math>의 경우 <math>\sigma</math> | + | * <math>\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma\}</math>의 경우 <math>\sigma</math>는 복소수체의 실수체 <math>\mathbb{R}</math>의 원소를 변화시키지 않음. |
| − | ** <math>\sigma(i)=-i, \sigma(-i)=i</math>에서 방정식 <math>x^2+1=0</math>의 해가 갈루아군의 원소에 의해서 서로 위치를 바꾸는 것을 볼 수 있음 | + | ** <math>\sigma(i)=-i, \sigma(-i)=i</math>에서 방정식 <math>x^2+1=0</math>의 해가 갈루아군의 원소에 의해서 서로 위치를 바꾸는 것을 볼 수 있음 |
| − | * 이것을 일반화할 수 있음 | + | * 이것을 일반화할 수 있음 |
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(정리) | (정리) | ||
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| − | 주어진 체 <math>F</math>에 대하여, <math>F</math>의 원소들로 계수가 구성된 기약인 방정식 <math>a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0</math>의 해이면, | + | 주어진 체 <math>F</math>에 대하여, <math>F</math>의 원소들로 계수가 구성된 기약인 방정식 <math>a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0</math>의 해이면, 위에서처럼 해<math>\alpha = \alpha_1,\cdots.\alpha_n</math>를 모두추가하여 만든 체확장 <math>K=F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)</math>의 갈루아군 <math>\text{Gal}(K/F)</math> 의 원소 <math>\sigma</math>에 대하여 <math>\sigma(\alpha)</math> 도 같은 방정식의 해가 된다. |
| − | * 증명은 [[방정식과 대칭성 : 치환군|방정식과 대칭성]] | + | * 증명은 [[방정식과 대칭성 : 치환군|방정식과 대칭성]] 항목을 참조 |
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==예== | ==예== | ||
| − | * 위에서 본 유리수체<math>\mathbb{Q}</math>의 확장 <math>K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})</math | + | * 위에서 본 유리수체<math>\mathbb{Q}</math>의 확장 <math>K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})</math> |
| − | * 위의 정리에 따라 갈루아군의 원소들은 <math>\sqrt[3]{2}</math>와 <math>\omega</math>를 어디로 보내는가에 따라 결정 | + | * 위의 정리에 따라 갈루아군의 원소들은 <math>\sqrt[3]{2}</math>와 <math>\omega</math>를 어디로 보내는가에 따라 결정 |
| − | * <math>\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}</math> 는 유리계수방정식 <math>x^3-2=0</math>의 해이고, <math>\omega</math>와 <math>\omega^2</math> | + | * <math>\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}</math> 는 유리계수방정식 <math>x^3-2=0</math>의 해이고, <math>\omega</math>와 <math>\omega^2</math>는 유리계수방정식 <math>x^2+x+1=0</math>의 해이기 때문 |
| − | + | $$ | |
| − | {| | + | \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} |
| − | | | + | & \operatorname{id} & \tau & \tau^2 & \sigma & \sigma\tau & \sigma\tau^2 \\ |
| − | | | + | \hline |
| − | + | \sqrt[3]{2} & \sqrt[3]{2} & \omega\sqrt[3]{2} & \omega^2\sqrt[3]{2} & \sqrt[3]{2} & \omega^2\sqrt[3]{2} & \omega\sqrt[3]{2} \\ | |
| − | + | \hline | |
| − | + | \omega & \omega & \omega & \omega & \omega^2 & \omega^2 & \omega^2 \\ | |
| − | + | \end{array} | |
| − | + | $$ | |
| − | + | * <math>\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}</math> 가 같이 움직이고,<math>\omega</math>와 <math>\omega^2</math>가 같이 움직임을 볼 수 있음 | |
| − | + | * <math>\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}</math>이 됨 | |
| − | + | * 한편 원소의 개수가 6인 군은 두 개가 존재 | |
| − | + | ** 크기가 6인 [[순환군]] | |
| − | + | ** 3개 원소로 이루어진 집합의 [[대칭군 (symmetric group)]]은 <math>3!=6</math> 개의 원소를 가짐 | |
| − | + | * <math>\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}</math> 는 이 둘 중 어느 것일까 물을 수 있다 | |
| − | + | ** 표를 이용하면 <math>\sigma\tau^2=\tau\sigma</math> 임을 알 수 있음 | |
| − | + | ** <math>\tau\sigma(\sqrt[3]2)=\tau(\sqrt[3]2)=\omega\sqrt[3]{2}</math>이고, <math>\tau\sigma(\omega)=\tau(\omega^2)=\omega^2</math> 이므로 <math>\sigma\tau^2=\tau\sigma</math> | |
| − | + | ** 따라서 <math>\sigma\tau\neq\tau\sigma</math> 이고, 이 군은 교환법칙이 성립하지 않음 | |
| − | + | ** 그러므로 <math>\text{Gal}(K/\mathbb{Q})\simeq S_3</math> | |
| − | + | * 요약 | |
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| − | * <math>\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}</math> 가 같이 움직이고,<math>\omega</math>와 <math>\omega^2</math>가 같이 움직임을 볼 수 있음 | ||
| − | * <math>\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}</math>이 됨 | ||
| − | * 한편 원소의 개수가 6인 군은 두 개가 존재 | ||
| − | ** 크기가 | ||
| − | ** 3개 원소로 이루어진 집합의 [[대칭군 (symmetric group)]] | ||
| − | * <math>\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}</math> | ||
| − | ** 표를 | ||
| − | ** <math>\tau\sigma(\sqrt[3]2)=\tau(\sqrt[3]2)=\omega\sqrt[3]{2}</math>이고, | ||
| − | ** | ||
| − | ** | ||
| − | * 요약 | ||
** 방정식 <math>x^3-2=0</math> 으로부터 체확장 <math>K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})</math>을 얻었고, <math>\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}</math> 를 얻었음 | ** 방정식 <math>x^3-2=0</math> 으로부터 체확장 <math>K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})</math>을 얻었고, <math>\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}</math> 를 얻었음 | ||
| − | ** <math>\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}</math> | + | ** <math>\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}</math> 의 원소들이 <math>\sqrt[3]{2}</math>와 <math>\omega</math> 를 어디로 보내는지를 보면, 각각의 원소를 알 수 있음. |
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==갈루아 체확장== | ==갈루아 체확장== | ||
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* transitivity와 fixed point free action 또는 <math>\text{Gal}(K/F)=|K:F|</math> | * transitivity와 fixed point free action 또는 <math>\text{Gal}(K/F)=|K:F|</math> | ||
* 유한체 | * 유한체 | ||
| − | * [[원분체 (cyclotomic field)]] | + | * [[원분체 (cyclotomic field)]] 와 [[원분다항식(cyclotomic polynomial)]] |
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==5차방정식에의 응용== | ==5차방정식에의 응용== | ||
| − | <math>f(x)=2x^5-5x^4+5</math> | + | <math>f(x)=2x^5-5x^4+5</math> is the irreducible polynomial of degree 5 over the rationals. |
| − | + | It has two complex and 3 real roots. | |
| − | This implies the Galois group | + | This implies the Galois group is <math>S_5</math>. |
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==역사== | ==역사== | ||
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* [[수학사 연표]] | * [[수학사 연표]] | ||
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==메모== | ==메모== | ||
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* http://matrix.skku.ac.kr/sglee/l_galois/index.html | * http://matrix.skku.ac.kr/sglee/l_galois/index.html | ||
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==관련된 항목들== | ==관련된 항목들== | ||
| − | * [[군론(group theory)|군론]] | + | * [[군론(group theory)|군론]] |
| − | * [[체론(field theory)]] | + | * [[체론(field theory)]] |
| − | * [[대수적수론]] | + | * [[대수적수론]] |
| − | * [[작도문제와 구적가능성]] | + | * [[작도문제와 구적가능성]] |
| − | ** [[가우스와 정17각형의 작도]] | + | ** [[가우스와 정17각형의 작도]] |
| − | ** [[그리스 3대 작도 불가능문제]] | + | ** [[그리스 3대 작도 불가능문제]] |
| − | *** [[두배의 부피를 갖는 정육면체(The duplication of the cube)]] | + | *** [[두배의 부피를 갖는 정육면체(The duplication of the cube)]] |
| − | ** [[정다각형의 작도]] | + | ** [[정다각형의 작도]] |
| − | ** [[히포크라테스의 초승달]] | + | ** [[히포크라테스의 초승달]] |
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* http://ko.wikipedia.org/wiki/ | * http://ko.wikipedia.org/wiki/ | ||
* http://en.wikipedia.org/wiki/galois_theory | * http://en.wikipedia.org/wiki/galois_theory | ||
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==관련논문== | ==관련논문== | ||
* [http://www.mathpages.com/HOME/kmath485.htm Determining the Galois Group of a Polynomial] | * [http://www.mathpages.com/HOME/kmath485.htm Determining the Galois Group of a Polynomial] | ||
| − | * [http://www.jstor.org/stable/2325119 Galois Theory for Beginners] | + | * [http://www.jstor.org/stable/2325119 Galois Theory for Beginners] |
| − | ** John Stillwell, | + | ** John Stillwell, <cite>The American Mathematical Monthly</cite>, Vol. 101, No. 1 (Jan., 1994), pp. 22-27 |
| − | * [http://www.jstor.org/stable/2690312 The Evolution of Group Theory: A Brief Survey] | + | * [http://www.jstor.org/stable/2690312 The Evolution of Group Theory: A Brief Survey] |
| − | ** Israel Kleiner, | + | ** Israel Kleiner, <cite>Mathematics Magazine</cite>, Vol. 59, No. 4 (Oct., 1986), pp. 195-215 |
| − | * [http://www.jstor.org/stable/301590 Galois and Group Theory] | + | * [http://www.jstor.org/stable/301590 Galois and Group Theory] |
| − | ** Garrett Birkhoff, | + | ** Garrett Birkhoff, Osiris, Vol. 3, (1937), pp. 260-268 |
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==교양도서== | ==교양도서== | ||
| − | * [http://www.yes24.com/Goods/FTGoodsView.aspx?goodsNo=140820&CategoryNumber=001001002015004 프랑스 수학자 갈루아 1], | + | * [http://www.yes24.com/Goods/FTGoodsView.aspx?goodsNo=140820&CategoryNumber=001001002015004 프랑스 수학자 갈루아 1], [http://www.yes24.com/Goods/FTGoodsView.aspx?goodsNo=140824&CategoryNumber=001001002015004 프랑스 수학자 갈루아 2] |
** 톰 펫시니스 저/김연수 역 | 이끌리오 | ** 톰 펫시니스 저/김연수 역 | 이끌리오 | ||
| − | * [http://books.google.com/books?id=veQ9a3nixDUC The Equation That Couldn't Be Solved: How Mathematical Genius Discovered the Language of Symmetry] | + | * [http://books.google.com/books?id=veQ9a3nixDUC The Equation That Couldn't Be Solved: How Mathematical Genius Discovered the Language of Symmetry] |
** Mario Livio | ** Mario Livio | ||
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==관련도서== | ==관련도서== | ||
| − | * [http://books.google.com/books?id=NeKmqSRE0V0C Classical Galois theory: with examples] | + | * [http://books.google.com/books?id=NeKmqSRE0V0C Classical Galois theory: with examples] |
| − | ** Lisl Gaal | + | ** Lisl Gaal 1998 |
| − | * [http://books.google.com/books?id=0bH6SUHSvloC Galois Theory] | + | * [http://books.google.com/books?id=0bH6SUHSvloC Galois Theory] |
| − | ** Harold M. Edwards (1984), | + | ** Harold M. Edwards (1984), Springer-Verlag |
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==블로그== | ==블로그== | ||
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** [http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=%EA%B0%88%EB%A3%A8%EC%95%84%EC%9D%B4%EB%A1%A0 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=갈루아이론] | ** [http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=%EA%B0%88%EB%A3%A8%EC%95%84%EC%9D%B4%EB%A1%A0 http://blogsearch.google.com/blogsearch?q=갈루아이론] | ||
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2013년 8월 21일 (수) 11:34 판
개요
- 군론을 통한 체론(field theory)의 이해
- 체확장과 갈루아군의 개념이 필요
- 대수방정식의 해가 가지고 있는 대칭성을 군을 통해 이해하는데서 탄생
- 대수방정식에서 체확장을 구성하고 그 체확장의 성질을 갈루아군을 통해서 이해하는 것
- 갈루아이론을 통하여 일반적인 5차이상의 방정식의 해는 계수로부터 시작하여 근호와 사칙연산을 통해 표현할 수 없음을 증명할 수 있으며, 왜 그것이 불가능한지를 설명할 수 있음
근의 공식2차 방정식의 근의 공식
- 2차 방정식의 근의 공식
- \(ax^2+bx+c=0\)\[x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
- \(ax^3+bx^2+cx+d=0\)
- 3차, 4차 방정식의 근의 공식
- \(ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f=0\)
- \(a,b,c,d,e,f\)
- \(\sqrt{},\sqrt[3]{},\sqrt[4]{}, \sqrt[5]{}, \cdots\)
풀수 있는 방정식
- 정오각형 항목 중 꼭지점의 평면좌표에는 어떻게 방정식 \(z^4+z^3+z^2+z^1+1=0\)을 풀 수 있는지가 설명되어 있음
- 가우스와 정17각형의 작도 항목에는 왜 정17각형이 자와 컴파스로 작도가능한지에 대한 설명이 있음.
- 이를 위하여 \(z^{16}+z^{15}+\cdots+z+1=0\)의 풀이를 반복적인 2차방정식의 풀이로 환원할 수 있음을 보임.
- 16차 방정식을 2차방정식 네번 푸는 문제로 바꾸는 것.
근의 치환
- 일반적으로 대칭군 (symmetric group)의 부분군을 치환군이라 부른다
- 방정식과 대칭성 : 치환군
다항식과 갈루아체확장
- (기약)다항식으로부터 얻어지는 해를 모두 추가하여 주어진 체를 확장시킬 수 있음
- 유리수체 \(\mathbb{Q}\)에서 정의된 다항식 \(x^3-2=0\)
- 해는 \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\) 세 개가 존재
- 유리수체 \(\mathbb{Q}\)에 \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\)를 집어넣으면 유리수체의 확장 \(K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})\) 를 얻음
- 이 때, 체 \(K\)는 유리수체 \(\mathbb{Q}\)위에 정의된 벡터공간이 되며, 벡터공간으로서의 차원은 \([K : \mathbb{Q}]=6\)이 됨
체확장과 갈루아군
- 체 \(F\)와 그 체확장 \(K\)에 대하여 군 \(\text{Gal}(K/F)\)을 정의할 수 있음
- \(\text{Gal}(K/F)\)는 체\(K\)의 자기동형사상 중에서 체\(F\)를 변화시키지 않는 원소들의 모임
- 자기동형사상이란 \(K\)에서 \(K\)에서 가는 일대일대응으로 사칙연산을 보존하는 함수
- 예) 복소수체 \(\mathbb{C}\) 는 실수체 \(\mathbb{R}\)의 체확장
- 방정식 \(x^2+1=0\) 의 해\(\{i,-i\}\)를 실수체 \(\mathbb{R}\)에 추가하여 실수체의 확장인 복소수체 \(\mathbb{C}\) 를 만듦
- \(\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma\}\) 는 두개의 원소로 구성되어 있으며, 복소수 \(z\)에 대하여 \(\operatorname{id}(z)=z\)과 \(\sigma(z)=\bar{z}\)로 정의됨
- \(\sigma(z)=\bar{z}\) 이므로 실수체 \(\mathbb{R}\)의 원소를 모두 보존함을 알 수 있다
방정식의 해가 가진 대칭성
- \(\text{Gal}(\mathbb{C}/\mathbb{R})=\{\operatorname{id}, \sigma\}\)의 경우 \(\sigma\)는 복소수체의 실수체 \(\mathbb{R}\)의 원소를 변화시키지 않음.
- \(\sigma(i)=-i, \sigma(-i)=i\)에서 방정식 \(x^2+1=0\)의 해가 갈루아군의 원소에 의해서 서로 위치를 바꾸는 것을 볼 수 있음
- 이것을 일반화할 수 있음
(정리)
주어진 체 \(F\)에 대하여, \(F\)의 원소들로 계수가 구성된 기약인 방정식 \(a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + a_{n-2} x^{n-2} + \cdots + a_1 x + a_0 = 0\)의 해이면, 위에서처럼 해\(\alpha = \alpha_1,\cdots.\alpha_n\)를 모두추가하여 만든 체확장 \(K=F(\alpha_1,\cdots,\alpha_n)\)의 갈루아군 \(\text{Gal}(K/F)\) 의 원소 \(\sigma\)에 대하여 \(\sigma(\alpha)\) 도 같은 방정식의 해가 된다.
- 증명은 방정식과 대칭성 항목을 참조
예
- 위에서 본 유리수체\(\mathbb{Q}\)의 확장 \(K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})\)
- 위의 정리에 따라 갈루아군의 원소들은 \(\sqrt[3]{2}\)와 \(\omega\)를 어디로 보내는가에 따라 결정
- \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\) 는 유리계수방정식 \(x^3-2=0\)의 해이고, \(\omega\)와 \(\omega^2\)는 유리계수방정식 \(x^2+x+1=0\)의 해이기 때문
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c} & \operatorname{id} & \tau & \tau^2 & \sigma & \sigma\tau & \sigma\tau^2 \\ \hline \sqrt[3]{2} & \sqrt[3]{2} & \omega\sqrt[3]{2} & \omega^2\sqrt[3]{2} & \sqrt[3]{2} & \omega^2\sqrt[3]{2} & \omega\sqrt[3]{2} \\ \hline \omega & \omega & \omega & \omega & \omega^2 & \omega^2 & \omega^2 \\ \end{array} $$
- \(\sqrt[3]{2}, \omega\sqrt[3]{2}, \omega^2\sqrt[3]{2}\) 가 같이 움직이고,\(\omega\)와 \(\omega^2\)가 같이 움직임을 볼 수 있음
- \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}\)이 됨
- 한편 원소의 개수가 6인 군은 두 개가 존재
- 크기가 6인 순환군
- 3개 원소로 이루어진 집합의 대칭군 (symmetric group)은 \(3!=6\) 개의 원소를 가짐
- \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}\) 는 이 둘 중 어느 것일까 물을 수 있다
- 표를 이용하면 \(\sigma\tau^2=\tau\sigma\) 임을 알 수 있음
- \(\tau\sigma(\sqrt[3]2)=\tau(\sqrt[3]2)=\omega\sqrt[3]{2}\)이고, \(\tau\sigma(\omega)=\tau(\omega^2)=\omega^2\) 이므로 \(\sigma\tau^2=\tau\sigma\)
- 따라서 \(\sigma\tau\neq\tau\sigma\) 이고, 이 군은 교환법칙이 성립하지 않음
- 그러므로 \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})\simeq S_3\)
- 요약
- 방정식 \(x^3-2=0\) 으로부터 체확장 \(K=\mathbb{Q}(\omega, \sqrt[3]{2})\)을 얻었고, \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}\) 를 얻었음
- \(\text{Gal}(K/\mathbb{Q})=\{\operatorname{id}, \tau, \tau^2,\sigma, \sigma\tau, \sigma\tau^2\}\) 의 원소들이 \(\sqrt[3]{2}\)와 \(\omega\) 를 어디로 보내는지를 보면, 각각의 원소를 알 수 있음.
갈루아 체확장
- transitivity와 fixed point free action 또는 \(\text{Gal}(K/F)=|K:F|\)
- 유한체
- 원분체 (cyclotomic field) 와 원분다항식(cyclotomic polynomial)
5차방정식에의 응용
\(f(x)=2x^5-5x^4+5\) is the irreducible polynomial of degree 5 over the rationals.
It has two complex and 3 real roots.
This implies the Galois group is \(S_5\).
역사
메모
관련된 항목들
사전 형태의 자료
관련논문
- Determining the Galois Group of a Polynomial
- Galois Theory for Beginners
- John Stillwell, The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 1 (Jan., 1994), pp. 22-27
- The Evolution of Group Theory: A Brief Survey
- Israel Kleiner, Mathematics Magazine, Vol. 59, No. 4 (Oct., 1986), pp. 195-215
- Galois and Group Theory
- Garrett Birkhoff, Osiris, Vol. 3, (1937), pp. 260-268
교양도서
- 프랑스 수학자 갈루아 1, 프랑스 수학자 갈루아 2
- 톰 펫시니스 저/김연수 역 | 이끌리오
- The Equation That Couldn't Be Solved: How Mathematical Genius Discovered the Language of Symmetry
- Mario Livio
관련도서
- Classical Galois theory: with examples
- Lisl Gaal 1998
- Galois Theory
- Harold M. Edwards (1984), Springer-Verlag