"3차 상호법칙"의 두 판 사이의 차이
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2014년 1월 16일 (목) 05:40 판
개요
- 3차의 정수계수 다항식 \(f(x)\)를 \(\pmod p\)로 분해할 때 나타나는 현상의 이해
아이젠슈타인 3차 상호법칙
거듭제곱 잉여 부호
- 거듭제곱 잉여 부호와 상호법칙에서 가져옴
- $n\geq 2$ : 자연수
- $K$ : $n$의 단위근 $\zeta_n$이 속해 있는 수체
- \(\mathcal{O}_K\) : $K$의 정수환 \(\zeta_n\in\mathcal{O}_K\)
- \(\mathfrak{p} \subset \mathcal{O}_K \) : $n \not \in \mathfrak{p}$을 만족하는 prime 아이디얼
- $\mathrm{N} \mathfrak{p} : = |\mathcal{O}_K / \mathfrak{p}|$
- $\mathcal{O}_K / \mathfrak{p}$은 유한체 (finite field)이므로, 소수 $p$와 적당한 $f\in \mathbb{Z}$에 대하여, $\mathrm{N} \mathfrak{p}=p^f$
- $\zeta_n\in (\mathcal{O}_K / \mathfrak{p})^{\times}$으로 생성되는 부분군의 크기는 $\mathrm{N} \mathfrak{p}-1 =p^f-1$을 나눈다
- 따라서 \(\mathrm{N} \mathfrak{p} \equiv 1 \pmod{n}\)을 만족한다
- (페르마의 소정리) \(\alpha \in \mathcal{O}_k,\;\;\; \alpha\not\in \mathfrak{p},\)에 대하여 다음이 성립한다
$$ \alpha^{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}\equiv 1 \pmod{\mathfrak{p} }. $$
- 다음을 만족하는 유일한 $s\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$가 존재한다
$$ \alpha^{\frac{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}{n}}\equiv \zeta_n^s\pmod{\mathfrak{p}} $$
- 거듭제곱 잉여 부호 준동형사상을 다음과 같이 정의
$$ \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p} }\right)_n : = \zeta_n^s $$ 여기서 $\zeta_n^s \equiv \alpha^{\frac{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}{n}}\pmod{\mathfrak{p}}$
- $n$과 서로 소인 아이디얼 $\mathfrak{a}=\prod \mathfrak{p}^{\nu_{\mathfrak{p}}}$에 대하여 잉여 부호를 다음과 같이 정의
$$ \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{a}}\right)_n:=\prod \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p} }\right)_n^{\nu_{\mathfrak{p}}} $$
용어와 기호
- $\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$
- $\alpha\in \mathbb{Z}[\omega]$가 $\alpha\equiv \pm 1 \pmod 3$을 만족하면, $\alpha$를 primary라고 부른다
- 이는 $\alpha=a+b\omega, 3\nmid a, 3|b$와 동치
상호법칙
- 정리
- $\alpha,\beta\in \mathbb{Z}[\omega]$가 서로소이고 primary라 하자.
\[\Bigg(\frac{\alpha}{\beta}\Bigg)_3 = \Bigg(\frac{\beta}{\alpha}\Bigg)_3. \] 또한, $\alpha = a + b\omega$가 primary이고 $a = 3m + 1, b = 3n$로 두자. ($a\equiv 2 \pmod 3$이면, $\alpha$를 $-\alpha$로 대체하여도, 잉여 부호는 변화가 없다) 다음이 성립한다 \[ \Bigg(\frac{\omega}{\alpha}\Bigg)_3 = \omega^\frac{1-a-b}{3}= \omega^{-m-n},\;\;\; \Bigg(\frac{1-\omega}{\alpha}\Bigg)_3 = \omega^\frac{a-1}{3}= \omega^m,\;\;\; \Bigg(\frac{3}{\alpha}\Bigg)_3 = \omega^\frac{b}{3}= \omega^n. \]
테이블
- 다음 표의 $\{a,b\}$는 $\mathbb{Z}[\omega]$의 원소 $a+b\omega$를 나타냄
- $x$는 잉여 부호가 정의되지 않음을 의미
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \left(\frac{y}{x}\right)_3 & \{2,0\} & \{5,0\} & \{1,3\} & \{2,3\} & \{11,0\} & \{1,-3\} & \{4,3\} & \{17,0\} & \{2,-3\} & \{5,3\} & \{23,0\} & \{29,0\} \\ \hline \{2,0\} & x & 1 & \omega ^2 & \omega & 1 & \omega ^2 & \omega & 1 & \omega & \omega ^2 & 1 & 1 \\ \hline \{5,0\} & 1 & x & \omega ^2 & \omega & 1 & 1 & 1 & 1 & \omega & \omega ^2 & 1 & 1 \\ \hline \{1,3\} & \omega ^2 & \omega ^2 & x & x & \omega & \omega ^2 & \omega & \omega & \omega & \omega & \omega ^2 & 1 \\ \hline \{2,3\} & \omega & \omega & x & x & \omega ^2 & \omega ^2 & \omega & \omega ^2 & \omega ^2 & \omega ^2 & \omega & 1 \\ \hline \{11,0\} & 1 & 1 & \omega & \omega ^2 & x & \omega ^2 & \omega & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \{1,-3\} & \omega ^2 & 1 & \omega ^2 & \omega ^2 & \omega ^2 & x & x & \omega & 1 & \omega & \omega ^2 & \omega ^2 \\ \hline \{4,3\} & \omega & 1 & \omega & \omega & \omega & x & x & \omega ^2 & \omega ^2 & 1 & \omega & \omega \\ \hline \{17,0\} & 1 & 1 & \omega & \omega ^2 & 1 & \omega & \omega ^2 & x & \omega & \omega ^2 & 1 & 1 \\ \hline \{2,-3\} & \omega & \omega & \omega & \omega ^2 & 1 & 1 & \omega ^2 & \omega & x & x & \omega ^2 & \omega ^2 \\ \hline \{5,3\} & \omega ^2 & \omega ^2 & \omega & \omega ^2 & 1 & \omega & 1 & \omega ^2 & x & x & \omega & \omega \\ \hline \{23,0\} & 1 & 1 & \omega ^2 & \omega & 1 & \omega ^2 & \omega & 1 & \omega ^2 & \omega & x & 1 \\ \hline \{29,0\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \omega ^2 & \omega & 1 & \omega ^2 & \omega & 1 & x \end{array} $$
- $x,y\equiv 2 \pmod 3$일 때, $\left(\frac{x}{y}\right)_3=1$
$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \left(\frac{y}{x}\right)_3 & \{2,0\} & \{5,0\} & \{11,0\} & \{17,0\} & \{23,0\} & \{29,0\} & \{41,0\} & \{47,0\} & \{53,0\} & \{59,0\} & \{71,0\} \\ \hline \{2,0\} & x & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \{5,0\} & 1 & x & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \{11,0\} & 1 & 1 & x & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \{17,0\} & 1 & 1 & 1 & x & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \{23,0\} & 1 & 1 & 1 & 1 & x & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \{29,0\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & x & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \{41,0\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & x & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline \{47,0\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & x & 1 & 1 & 1 \\ \hline \{53,0\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & x & 1 & 1 \\ \hline \{59,0\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & x & 1 \\ \hline \{71,0\} & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & x \end{array} $$
예
관련된 항목들
매스매티카 파일 및 계산 리소스
리뷰, 에세이, 강의노트