3차 상호법칙

개요

• 3차의 정수계수 다항식 \(f(x)\)를 \(\pmod p\)로 분해할 때 나타나는 현상의 이해

아이젠슈타인 3차 상호법칙

거듭제곱 잉여 부호

• 거듭제곱 잉여 부호와 상호법칙에서 가져옴
• $n\geq 2$ : 자연수
• $K$ : $n$의 단위근 $\zeta_n$이 속해 있는 수체
• \(\mathcal{O}_K\) : $K$의 정수환 \(\zeta_n\in\mathcal{O}_K\)
• \(\mathfrak{p} \subset \mathcal{O}_K \) : $n \not \in \mathfrak{p}$을 만족하는 prime 아이디얼
• $\mathrm{N} \mathfrak{p} : = |\mathcal{O}_K / \mathfrak{p}|$
  • $\mathcal{O}_K / \mathfrak{p}$은 유한체 (finite field)이므로, 소수 $p$와 적당한 $f\in \mathbb{Z}$에 대하여, $\mathrm{N} \mathfrak{p}=p^f$
  • $\zeta_n\in (\mathcal{O}_K / \mathfrak{p})^{\times}$으로 생성되는 부분군의 크기는 $\mathrm{N} \mathfrak{p}-1 =p^f-1$을 나눈다
  • 따라서 \(\mathrm{N} \mathfrak{p} \equiv 1 \pmod{n}\)을 만족한다
• (페르마의 소정리) \(\alpha \in \mathcal{O}_k,\;\;\; \alpha\not\in \mathfrak{p},\)에 대하여 다음이 성립한다

$$ \alpha^{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}\equiv 1 \pmod{\mathfrak{p} }. $$

• 다음을 만족하는 유일한 $s\in (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$가 존재한다

$$ \alpha^{\frac{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}{n}}\equiv \zeta_n^s\pmod{\mathfrak{p}} $$

• 거듭제곱 잉여 부호 준동형사상을 다음과 같이 정의

$$ \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p} }\right)_n : = \zeta_n^s $$ 여기서 $\zeta_n^s \equiv \alpha^{\frac{\mathrm{N} \mathfrak{p} -1}{n}}\pmod{\mathfrak{p}}$

• $n$과 서로 소인 아이디얼 $\mathfrak{a}=\prod \mathfrak{p}^{\nu_{\mathfrak{p}}}$에 대하여 잉여 부호를 다음과 같이 정의

$$ \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{a}}\right)_n:=\prod \left(\frac{\alpha}{\mathfrak{p} }\right)_n^{\nu_{\mathfrak{p}}} $$

용어와 기호

• $\omega=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$
• $\alpha\in \mathbb{Z}[\omega]$가 $\alpha\equiv \pm 1 \pmod 3$을 만족하면, $\alpha$를 primary라고 부른다
  • 이는 $\alpha=a+b\omega, 3\nmid a, 3|b$와 동치

상호법칙

정리

• $\alpha,\beta\in \mathbb{Z}[\omega]$가 서로소이고 primary라 하자.

\[\Bigg(\frac{\alpha}{\beta}\Bigg)_3 = \Bigg(\frac{\beta}{\alpha}\Bigg)_3. \] 또한, $\alpha = a + b\omega$가 primary이고 $a = 3m + 1, b = 3n$로 두자. ($a\equiv 2 \pmod 3$이면, $\alpha$를 $-\alpha$로 대체하여도, 잉여 부호는 변화가 없다) 다음이 성립한다 \[ \Bigg(\frac{\omega}{\alpha}\Bigg)_3 = \omega^\frac{1-a-b}{3}= \omega^{-m-n},\;\;\; \Bigg(\frac{1-\omega}{\alpha}\Bigg)_3 = \omega^\frac{a-1}{3}= \omega^m,\;\;\; \Bigg(\frac{3}{\alpha}\Bigg)_3 = \omega^\frac{b}{3}= \omega^n. \]

테이블

• 아래 표에서 $(a,b)$는 $a+b\omega\in \mathbb{Z}[\omega]$를 의미
• 빈 칸은 잉여 부호가 정의되지 않음을 의미
• 서로 소인 소수 $x,y\in \mathbb{Z}[\omega]$에 대한 $\left(\frac{y}{x}\right)_3$의 값

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} x\ddots y & (-2,0) & (-5,0) & (-2,-3) & (1,3) & (-11,0) & (1,-3) & (4,3) & (-17,0) & (-5,-3) & (-2,3) & (-23,0) & (-29,0) \\ \hline (-2,0) & & 1 & \omega & \omega ^2 & 1 & \omega ^2 & \omega & 1 & \omega ^2 & \omega & 1 & 1 \\ \hline (-5,0) & 1 & & \omega & \omega ^2 & 1 & 1 & 1 & 1 & \omega ^2 & \omega & 1 & 1 \\ \hline (-2,-3) & \omega & \omega & & 1 & \omega ^2 & \omega ^2 & \omega & \omega ^2 & \omega ^2 & \omega ^2 & \omega & 1 \\ \hline (1,3) & \omega ^2 & \omega ^2 & 1 & & \omega & \omega ^2 & \omega & \omega & \omega & \omega & \omega ^2 & 1 \\ \hline (-11,0) & 1 & 1 & \omega ^2 & \omega & & \omega ^2 & \omega & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline (1,-3) & \omega ^2 & 1 & \omega ^2 & \omega ^2 & \omega ^2 & & 1 & \omega & \omega & 1 & \omega ^2 & \omega ^2 \\ \hline (4,3) & \omega & 1 & \omega & \omega & \omega & 1 & & \omega ^2 & 1 & \omega ^2 & \omega & \omega \\ \hline (-17,0) & 1 & 1 & \omega ^2 & \omega & 1 & \omega & \omega ^2 & & \omega ^2 & \omega & 1 & 1 \\ \hline (-5,-3) & \omega ^2 & \omega ^2 & \omega ^2 & \omega & 1 & \omega & 1 & \omega ^2 & & 1 & \omega & \omega \\ \hline (-2,3) & \omega & \omega & \omega ^2 & \omega & 1 & 1 & \omega ^2 & \omega & 1 & & \omega ^2 & \omega ^2 \\ \hline (-23,0) & 1 & 1 & \omega & \omega ^2 & 1 & \omega ^2 & \omega & 1 & \omega & \omega ^2 & & 1 \\ \hline (-29,0) & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \omega ^2 & \omega & 1 & \omega & \omega ^2 & 1 & \\ \hline\end{array} $$

• $p\equiv 2 \pmod 3$일 때, $\alpha\in \mathbb{Z},\alpha \neq 3$에 대하여 $\left(\frac{\alpha}{p}\right)_3=1$

$$ \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} p \ddots \alpha & 2 & 5 & 7 & 11 & 13 & 17 & 19 & 23 & 29 & 31 & 37 & 41 & 43 \\ \hline (-2,0) & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline (-5,0) & 1 & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline (-11,0) & 1 & 1 & 1 & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline (-17,0) & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline (-23,0) & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline (-29,0) & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline (-41,0) & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & & 1 \\ \hline (-47,0) & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline (-53,0) & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline (-59,0) & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline (-71,0) & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \hline\end{array} $$

예

• 이차형식 x^2+xy+y^2
• 이차형식 x^2+27y^2
• 숫자 23과 다항식 x³-x+1

관련된 항목들

• 아이젠슈타인 정수
• 정수론에서의 상호법칙 (reciprocity laws)
• 프로베니우스 원소

매스매티카 파일 및 계산 리소스

• https://docs.google.com/file/d/0B8XXo8Tve1cxNDVEekNSZVpFRm8/edit

리뷰, 에세이, 강의노트

• http://people.reed.edu/~jerry/361/lectures/lec12.pdf
• Pollack, Rational Cubic Reciprocity, 슬라이드

사전 형태의 자료

• http://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_reciprocity