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==표기법의 역사==
 
==표기법의 역사==
 
* http://collation.folger.edu/2015/03/pi-day-represented/
 
* http://collation.folger.edu/2015/03/pi-day-represented/
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* The first time we see the Greek letter π used in connection with circles is in Oughtred’s 1647 Key of the Mathematics. Here, Oughtred used π to represent the periphery (or circumference) of a circle and ∂ to represent the diameter in the ratio.
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* It wasn’t until the beginning of the 18th century that π started to be used in its current way, thanks to to William Jones’s A New Introduction to the Mathematics
  
  
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===오일러와 파이===
 
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* [[오일러의 공식]]:<math>e^{i \pi} +1 = 0</math><br>
 
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* [[Ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]:<math>\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}=\frac{(2\pi)^2}{24}</math>
 
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*  더 일반적으로 [[정수에서의 리만제타함수의 값]]은 다음과 같이 주어진다:<math>\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1</math>여기서 <math>B_{2n}</math>은 [[베르누이 수|베르누이수]].<br>
 
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===산술기하평균함수와 파이===
 
===산술기하평균함수와 파이===
  
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* [[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산|산술기하평균함수(AGM)와 파이)]][[산술기하평균함수(AGM)와 파이값의 계산|값의 계산]]
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==오일러와 파이==
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* [[오일러의 공식]]:<math>e^{i \pi} +1 = 0</math><br>
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* [[Ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)]]:<math>\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}=\frac{(2\pi)^2}{24}</math>
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*  더 일반적으로 [[정수에서의 리만제타함수의 값]]은 다음과 같이 주어진다:<math>\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1</math>여기서 <math>B_{2n}</math>은 [[베르누이 수|베르누이수]].<br>
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==complex multiplication과 파이==
 
==complex multiplication과 파이==

2015년 3월 14일 (토) 16:58 판

개요

  • 원주율(파이,π)는 원의 둘레와 지름의 비율
  • 모든 원은 서로 닮음이므로, 이 비율은 상수이다


2519130-circle diagram1.jpg

  • \(\pi=3.141592653589793238462643383279502884197169399375\cdots\)
  • 수학의 수많은 곳에서 등장한다


표기법의 역사

  • http://collation.folger.edu/2015/03/pi-day-represented/
  • The first time we see the Greek letter π used in connection with circles is in Oughtred’s 1647 Key of the Mathematics. Here, Oughtred used π to represent the periphery (or circumference) of a circle and ∂ to represent the diameter in the ratio.
  • It wasn’t until the beginning of the 18th century that π started to be used in its current way, thanks to to William Jones’s A New Introduction to the Mathematics


원주율의 계산

아르키메데스의 부등식

  • \(223/71 < \pi < 22/7\)



비에타의 공식

  • 1593년 François Viète에 의해 발견된 비에타의 공식
  • 원주율의 무한곱 표현\[\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}}{2}\cdots\]



급수표현

\[1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}\]



마친의 공식



산술기하평균함수와 파이



라마누잔의 공식

  • 라마누잔은 1914년에 다음과 같은 공식을 발표\[\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}\]
  • 윌리엄 고스퍼는 1985년에 파이값의 천7백만자리를 계산하기 위해 이 공식을 사용
  • 비슷한 형태로 다음과 같은 공식\[\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}\!\]
  • 라마누잔과 파이 항목을 참조



오일러와 파이



BBP 공식

\[\pi = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6} \right)\]



complex multiplication과 파이



파이가 아니라 2파이다?



메모


 

 

관련된 항목들

 

 

계산 리소스


사전 형태의 자료



관련논문

관련도서



관련기사

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