원주율(파이,π)

개요

• 원주율(파이,π)는 원의 둘레와 지름의 비율
• 모든 원은 서로 닮음이므로, 이 비율은 상수이다

• \(\pi=3.141592653589793238462643383279502884197169399375\cdots\)
• 수학의 수많은 곳에서 등장한다

표기법의 역사

• http://collation.folger.edu/2015/03/pi-day-represented/
• The first time we see the Greek letter π used in connection with circles is in Oughtred’s 1647 Key of the Mathematics. Here, Oughtred used π to represent the periphery (or circumference) of a circle and ∂ to represent the diameter in the ratio.
• It wasn’t until the beginning of the 18th century that π started to be used in its current way, thanks to to William Jones’s A New Introduction to the Mathematics

원주율의 계산

• http://numbers.computation.free.fr/Constants/Pi/piCompute.html
• http://en.wikipedia.org/wiki/Chronology_of_computation_of_%CF%80

아르키메데스의 부등식

• \(223/71 < \pi < 22/7\)

비에타의 공식

• 1593년 François Viète에 의해 발견된 비에타의 공식
• 원주율의 무한곱 표현\[\frac{2}{\pi}=\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}{2} \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}}}}{2}\cdots\]
  

급수표현

• 1680년경에 발견된 라이프니츠 급수

\[1 \,-\, \frac{1}{3} \,+\, \frac{1}{5} \,-\, \frac{1}{7} \,+\, \frac{1}{9} \,-\, \cdots \;=\; \frac{\pi}{4}\]

마친의 공식

• 1706년 발견된 마친(Machin)의 공식\[\frac{\pi}{4}=4\alpha-\beta=4\arctan \frac{1}{5}-\arctan \frac{1}{239}\]
  

산술기하평균함수와 파이

• 산술기하평균함수(AGM)와 파이)

라마누잔의 공식

• 라마누잔은 1914년에 다음과 같은 공식을 발표\[\frac{1}{\pi}= \frac{2\sqrt2}{9801}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(4n)!(1103+26390n)}{(n!)^{4}396^{4n}}\]
  
• 윌리엄 고스퍼는 1985년에 파이값의 천7백만자리를 계산하기 위해 이 공식을 사용
• 비슷한 형태로 다음과 같은 공식\[\frac{426880 \sqrt{10005}}{\pi} = \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 (-640320)^{3k}}\!\]
  
• 라마누잔과 파이 항목을 참조

오일러와 파이

• 오일러의 공식\[e^{i \pi} +1 = 0\]
  
• Ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)\[\zeta(2)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}=\frac{(2\pi)^2}{24}\]
• 더 일반적으로 정수에서의 리만제타함수의 값은 다음과 같이 주어진다\[\zeta(2n) =(-1)^{n+1}\frac{B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!}, n \ge 1\]여기서 \(B_{2n}\)은 베르누이수.
  

BBP 공식

• BBP 공식 항목 참조

\[\pi = \sum_{k = 0}^{\infty}\frac{1}{16^k} \left( \frac{4}{8k + 1} - \frac{2}{8k + 4} - \frac{1}{8k + 5} - \frac{1}{8k + 6} \right)\]

complex multiplication과 파이

• 타원곡선의 complex multiplication 이론과 타원 모듈라 j-함수 (j-invariant)는 다음과 같은 공식들을 이해할 수 있게 해준다\[\large e^{\pi \sqrt{163}}=262537412640768743.9999999999992500725\cdots\approx 262537412640768744\]\[e^{\pi \sqrt{43}} = 884736743.9997774660349066619374620785\approx 884736744\]\[e^{\pi \sqrt{67}} = 147197952743.9999986624542245068292613\approx 147197952744\]
  
• 숫자 163, 숫자 67 항목과 가우스의 class number one 문제

파이가 아니라 2파이다?

• 수학의 많은 공식에서는 \(\pi\)가 아닌 \(2\pi\)가 자연스럽게 등장
• 파이가 아니라 2파이다?

메모

• http://navercast.naver.com/science/math/1094
• http://navercast.naver.com/science/math/204

관련된 항목들

• 너드의 길
• 오일러의 공식
• ζ(2)의 계산, 오일러와 바젤문제(완전제곱수의 역수들의 합)
• 정수에서의 리만제타함수의 값
• 라마누잔과 파이
• 파이(영화)
• 삼각함수와 쌍곡함수의 맥클로린 급수

 

 

계산 리소스

• http://oeis.org/A000796
• http://www.wolframalpha.com/input/?i=pi
• 2.html Bibliography for Computation of Pi

사전 형태의 자료

• http://ko.wikipedia.org/wiki/원주율
• http://en.wikipedia.org/wiki/

관련논문

• Bailey, David H., Simon M. Plouffe, Peter B. Borwein, and Jonathan M. Borwein. “The Quest for PI.” The Mathematical Intelligencer 19, no. 1 (December 1, 1997): 50–56. doi:10.1007/BF03024340. http://crd.lbl.gov/%7Edhbailey/dhbpapers/pi-quest.pdf
• Borwein, Jonathan M. “The Life of Π: From Archimedes to ENIAC and Beyond.” In From Alexandria, Through Baghdad, edited by Nathan Sidoli and Glen Van Brummelen, 531–61. Springer Berlin Heidelberg, 2014. http://link.springer.com/chapter/10.1007/978-3-642-36736-6_24.
• Schepler, Herman C. “The Chronology of PI.” Mathematics Magazine 23, no. 4 (March 1, 1950): 216–28. doi:10.2307/3029832. http://www.jstor.org/stable/3029832

관련도서

• 수학도깨비에게 원주율 배우기
  
  • 최행진, 교우사, 2009-03-05
• 파이의 즐거음
  
  • 데이비드 블래트너, 2003
• Pi-unleashed
  
  • Jörg Arndt, Christoph Haenel, C. Lischka, D. Lischka, 2000
• Pi and the AGM
  
  • Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein, 1998

관련기사

• 네이버 뉴스 검색 (키워드 수정)
  
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=원주율
  • http://news.search.naver.com/search.naver?where=news&x=0&y=0&sm=tab_hty&query=파이데이