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수학노트

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2015년 7월 10일 (금) 21:22 판

간단한 요약

복소함수의 미적분학과 기하학적 성질을 공부함.
일변수미적분학은 본래 복소함수론의 세팅에서 배우는 것이 자연스럽고 바람직함.
학부수학에서 가장 중요한 과목이며 고등수학으로 나아가는 토대.
리만곡면론의 공부를 목표로 삼으면 좋음.

선수 과목 또는 알고 있으면 좋은 것들

일변수미적분학
기초적인 다변수미적분학
- 편미분
- 자코비안
- 선적분
- 그린정리
2차원 회전변환
평면기하학의 반전 사상(inversion)

다루는 대상

복소평면의 도메인, 리만구
복소함수
- 뫼비우스 변환
- 초월함수

중요한 개념 및 정리

멱급수
코쉬 정리
유수 정리
해석적 연속
다가함수
리만 곡면

유명한 정리 혹은 생각할만한 문제

다른 과목과의 관련성

미분기하학
- 단순연결된 상수곡률곡면과 Uniformization 정리
대수적 위상수학
- 호모토피
- 모노드로미
- covering space
추상대수학
- discontinous groups
  - 뫼비우스변환
  - 아래의 '더 공부하면 좋은 것들' 항목 참조

관련된 대학원 과목 또는 더 공부하면 좋은 것들

Special functions
타원적분과 타원함수론
Modular functions, modular forms and Fuchsian automorphic functions
대수적 함수와 아벨적분
리만곡면론
대수곡선론
Discontinous groups
- Fuchsian groups, 클라인군(Kleinian groups), 쇼트키군(Schottky groups)
Teichmüller theory

표준적인 교과서

Complex Analysis
- Lars Ahlfors, 3rd edition, McGraw-Hill, 1979

관련도서 및 보조교재

Gareth A. Jones and David Singerman, Complex Functions: An Algebraic and Geometric Viewpoint

관련논문

Simonič, Aleksander. “The Ahlfors Lemma and Picard’s Theorems.” arXiv:1506.07019 [math], June 22, 2015. http://arxiv.org/abs/1506.07019.
Redheffer, Raymond. “The Homotopy Theorems of Function Theory.” The American Mathematical Monthly 76, no. 7 (August 1, 1969): 778–87. doi:10.2307/2317866.

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